Il 07 Ago 2007, 18:34, ljetog_at_yahoo.it (Tetis) ha scritto:
> Vedo che Elio Fabri ha dato una spiegazione
> mettendo in evidenza la sostanza del discorso che forse era
> andata persa nel testo a cui ti sei riferito. Per� voglio provare
> ad entrare nei dettagli di quello che hai scritto per vedere se
> riusciamo a correggere eventuali errori o difficolt� di lettura.
> In verit� tutte le matrici unitarie speciali di SU(2) si parametrizzano
con
> due parametri complessi a e b quindi i parametri reali sono quattro,
> tuttavia c'� un vincolo da considerare |a|^2 + |b|^2 = 1.
>
> la matrice �:
>
> a b
> -b* a*
>
> il cui determinante � appunto |a|^2 + |b|^2.
Bravissimo! Questa � proprio la matrice che intendevo!
> Passin passino. Dato uno spinore unitario (a,b)
> questo individua univocamente un elemento
> di SU(2) ma non � lo stesso di.
> L'elemento di SU(2) pu� essere costruito come:
>
> a b
> -b* a*
>
> Osservazione: ad (a,b) ed a (-a,-b) corrispondono due elementi distinti
> di SU(2) uno opposto dell'altro.
>
> Inoltre, dato un generico spinore, la moltiplicazione a
> sinistra per un elemento di SU(2) induce una corrispondente
> trasformazione mediante moltiplicazione a destra per l'hermitiano
coniugato
> sullo spinore hermitiano coniugato.
> In questo senso abbiamo definito due azioni di SU(2) sullo spazio degli
> spinori. A ciascuno spinore csi � possibile inoltre associare anche una
> matrice
> hermitiana csi x csi+ due per due. Che non ha traccia nulla. Per� �
> possibile ottenere una matrice a traccia nulla togliendo 1/2 ( |a|^2 +
> |b|^2) Id.
Ottimo! Questa osservazione mi mancava. La apprezzo molto!
> Osservazione: a csi = (a,b) ed a -csi = (-a,-b) corrisponde la stessa
> matrice csi x csi+ =
>
> (|a|^2-|b|^2)/2 ab*
> b*a - (|a|^2+|b|^2)/2.
Qui hai commesso un errore perch� ci va il segno - e non il + nella
parentesi 2 riga 2 colonna.
> Le due azioni definite in precedenza inducono ora una trasformazione
> su queste matrici 2 x 2 che si chiama azione aggiunta sullo spazio
> dei vettori. Le matrici hermitiane a traccia nulla si chiamano infatti
> vettori.
> La ragione di questa denominazione � che il determinante di queste
> matrici � invariante e pu� essere scritto come somma dei quadrati di
> tre numeri reali: questi numeri reali sono (|a|^2-|b|^2)/2 e
rispettivamente
> la parte reale e la parte immaginaria degli elementi fuori diagonale.
> questi tre numeri formano un vettore convenzionale (x1,x2,x3) associato
> con csi x csi+ :
>
> -x3 (x1- i x2)
> (x1+i x2) x3
Questi due cosa rappresentano? Sono gli spinori? Boh questo non l'ho capito.
> E' immediato riconoscere che a spinori opposti corrispondono
> vettori uguali. (le matrici sono uguali quindi anche le componenti
> (x1,x2,x3)).
> Risulta inoltre che il quadrato di queste matrici � diagonale. Infine
> risulta che il semi-prodotto simmetrico di due matrici � una matrice
> diagonale e sulla diagonale ha i prodotti scalari dei due vettori
> convenzionali associati.
>
> Cosa c'� alla base di questo giochetto
> di prestidigitazione? C'� la circostanza che tutte le matrici hermitiane
> a traccia nulla 2x2 sono combinazioni lineari di matrici di Pauli,
> nella fattispecie:
>
> x1 s1 + x2 s2 + x3 s3
>
> poich� il prodotto simmetrico di due matrici di Pauli � doppio
> dell'l'identit�
> ottieni i risultati suddetti. La questione delicata � che l'azione
aggiunta
> di una matrice U e della sua opposta sono le medesime sullo spazio dei
> vettori, mentre le azioni sullo spazio degli spinori differiscono per un
> segno. In questo senso abbiamo un omomorfismo da SU(2) in SO(3)
> con nucleo Z_2.
Ottimo!!
L'unica cosa � che non hai capito la mia domanda. So che spiegarsi a parole
� difficile. Dato che sei arrivato a un ottimo punto, usando le tue
notazioni forse riesco a spiegarmi.
Tu sei arrivato a un punto in cui associ a ogni spinore complesso la matrice
csi csi +
Il mio scopo � trovare una matrice particolare, che chiamer� H, che si
trasformi come questa matrice sotto trasformazioni di SU(2). Ecco come
faccio. Questa � la ricetta.
1) Applico la matrice generica unitaria
a b
-b* a*
a uno spinore complesso a due componenti csi1
csi 2
2) Trovo il legame tra le componenti vecchie e quelle nuove
csi1' = a csi1 + bcsi2
csi2' = -b*csi1 + a*csi2
3) Faccio i complessi coniugati delle due equazioni
csi1'* = a*csi1* + b*csi2*
csi2*' = -bcsi1* + acsi2*
4) Adesso faccio una manipolazione. Scrivo le due equazioni precedenti in
una forma a me comoda
-csi2'* = a(-csi2*) + bcsi1*
csi1'* = -b* (-csi2*) + a*csi1*
Come puoi notare questa � proprio la matrice a b applicata allo spinore
-csi2*
-b* a* csi1*
Ho mostrato che questo spinore si trasforma sotto SU(2) proprio come csi 1
csi 2
Quindi anche gli hermitiani coniugati di questi due spinori si trasformano
allo stesso modo (anche se questa affermazione andrebbe dimostrata, magari
me la dimostri tu che sei bravo)
Abbiamo quindi trovato che csi + = ( csi 1, csi 2) si trasforma come (-csi2
, csi 1).
Possiamo quindi dire che la matrice csi csi + si trasforma sotto SU(2) come
la matrice
csi 1 (-csi2 , csi1) = - csi1csi2 csi1^2
csi 2 -csi2^2 csi1csi2
Questa matrice tanto agognata la chiamo -H. Si trasforma come csicsi+. Ed �
a traccia nulla. Ma non � n� hermitiana n� unitaria, a differenza della
csicsi+.
Ora prendo la generica matrice hermitiana h, quella che ha scritto anche
elio fabri nel suo post, prodotto scalare tra il vettore generico e il
vettore formato dalle tre matrici di Pauli,
z x - iy
x + iy -z
Questa matrice h si trasforma sotto SU(2) proprio come H definita prima.
Sulla base di questa considerazione il mio libro le identifica. Cio� proprio
eguaglia termine a termine. La domanda � si pu� fare? Anche se le matrici
hanno caratteristiche cos� diverse??
Sono stato il pi� chiaro possibile! Meglio di cos� non saprei proprio fare!!
>
> Per andare in dettaglio occorre dimostrare effettivamente che
> la rappresentazione aggiunta che abbiamo definito � surgettiva, ovvero
> che ogni valore di SO(3) pu� essere pensato come immagine
> mediante omomorfismo di gruppi di due elementi di SU(2). Ma
> ad ogni matrice di rotazione possiamo associare un asse fisso
> di rotazione, in modo che la stessa matrice M risulta rappresentata
> sia come rotazione intorno ad n1,n2,n3 di angolo theta che come
> rotazione intorno a -(n1,n2,n3) di angolo -theta. Quindi ad ogni
> matrice possiamo associare un'intera classe di equivalenza di
> vettori (x1,x2,x3) con medesima direzione e norme che differiscono
> per un multiplo di 2pi.
Ho notato che il libro non usa mai SO(3) ma sempre solo O(3)
Probabilmente intende la stessa cosa.
> Questa � la classe di equivalenza dei vettori v tali che
>
> exp (i v S) = M.
>
> posto che S siano le matrici che generano le rotazioni infinitesime
> in R^3 = (x1,x2,x3).
>
> Inoltre possiamo costruire due matrici U e -U Per l'esattezza:
> exp [ i ( x1 s1 + x2 s2 + x3 s3)/2 ] (dove ora s sono le matrici
> di Pauli) che agisce sugli spinori
> in modo che l'azione aggiunta sui vettori corrisponda alla
> rotazione (x1,x2,x3). La verifica � semplice a partire dalle
trasformazioni
> infinitesime, si vede che il fatto che compaiano due copie di U
nell'azione
> aggiunta ristabilisce il fattore uno nella matrice di rotazione
infinitesima
> indotta su (x1,x2,x3).
>
> La periodicit�, al variare della norma,
> per le due rappresentazioni da (n1,n2,n3)t in SO(3) e per
> (x1,x2,x3) in SU(2) � doppia nel secondo caso in accordo
> con quanto avevamo gi� stabilito che ci sono due distinte
> matrici di SU(2) a cui corrisponde lo stesso elemento di
> SO(3).
>
> Interpretazione geometrica in termini di sfera di Riemann.
> Ad ogni spinore unitario corrisponde una matrice di SU(2)
> (in S^3), un elemento di CP^1 (S^2) mediante proiezione
> canonica da C^2 nello spazio proiettivo complesso ( a
> costo dell'informazione relativa alla fase, ad elementi
> opposti di S^3 corrisponde il medesimo elemento di
> CP^1 (S^2) ) ed infine ad ogni spinore corrisponde anche
> un vettore di R^3. Gli elementi di SU(2) agiscono su C^2,
> su CP^1 (S^2)
> e mediante azione aggiunta su R^3. A spinori opposti
> corrispondono identici elementi di S^2 ma elementi opposti
> di SU(2) con la medesima azione su S^2 ed R^3, ma
> azione differente su C^2. In particolare le traiettorie di cui prima
> descrivono circonferenze dette di Clifford in S^3, che insistono
> sul medesimo punto di S^2.
> Mi sembra che ci siano due cose mescolate. csi x csi+ � hermitiana,
> non � per� unitaria, invece csi+ x csi � un numero. Trasformando
> csi con la moltiplicazione a sinistra per U e csi+ con la moltiplicazione
a
> destra per U+ risulta che il prodotto csi+' x csi' = csi'+ x csi' = csi+ x
> csi �
> conservato. Mentre csi' x csi'+ rimane hermitiano. Quindi
> la matrice a traccia nulla, costruita secondo la ricetta indicata prima
> rimane una matrice a traccia nulla.
>
> Appena un poco in generale quello che c'� alla base di tutto questo
> � la struttura di algebra di Clifford associata agli spazi euclidei.
Motivo
> per cui in verit� anche SU(N) agir� sulle matrici hermitiane N x N che
> risultano dal prodotto di csi x csi+ - (csi+ x csi) Id/2 , con csi
elemento
> di C^N conservando la traccia nulla, il prodotto scalare definito come
> prima e la norma unitaria. La dimensione dello spazio vettoriale
> euclideo associato sar� 2N - 1. (che fa tre se N=2). Quindi analogamente
> a prima che SU(2) -> SO(3) Ed SU(N) -> SO(2N-1)
L'algebra di Clifford non l'ho mai sentita. Ho studiato l'algebra di Lie, di
Cartan ma Clifford mi manca. Chi era?
Comunque mi pare una generalizzazione molto molto interessante anche se
forse pi� da matematici che da fisici. Sbaglio??
Grazie per la tua interessantissima risposta. C'� sempre qualcosa da
imparare da te.
Spero che ce ne siano altre.
Cordiali saluti,
Filiberto
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Inviato via
http://arianna.libero.it/usenet/
Received on Wed Aug 08 2007 - 14:26:42 CEST