Il 08 Ago 2007, 21:41, Elio Fabri <elio.fabri_at_tiscali.it> ha scritto:
>> O(3) e' il gruppo delle matrici _ortogonali_ 3x3.
> Se indico con Mt la trasposta di M, cio' significa M Mt = I.
> Dato che M e Mt hanno lo stesso determinante, per il teorema di Binet
> ne segue det M = +/-1.
> Dunque O(3) e' un gruppo *sconnesso*: una parte con det M = 1, un'altra
> con det M = -1.
> SO(3) e' il sottogruppo con det M = 1.
>
> Ti avevo chiesto di che libro si tratta: mi sembra sia puttosto
> approssimativo...
Purtroppo il titolo del libro non lo so perch� ho una trentina di fotocopie,
praticamente buona parte del secondo capitolo che si intitola
"Single-particle relativistic wave equations". Non so se sia il quantum
field theory o altro. Nel primo paragrafo spiega le notazioni
relativistiche, nel secondo l'equazione di Klein Gordon, nel terzo
l'equazione di Dirac (� proprio in questo paragrafo che spiega l'omomorfismo
tra O(3) e SU(2) se � sbagliato � meglio contattare l'autore e dirgli che ha
scritto una cazzata, vabb� che lui neanche usa il termine omomorfismo...) Se
la biblioteca fosse aperta andrei a vedere che libro � ma purtroppo �
chiusa. Magari ci arrivi lo stesso a capire l'autore. Il paragrafo 2.4 �
prediction of antiparticles, 2.5 Construction of Dirac spinors: algebra of
gamma matrices 2.6 Nonrelativistic limit and the electron magnetic moment.
>
> > Le matrici che si trasformano sotto SU(2)
> > come matrici hermitiane sono ancora hermitiane?? Che ne dite??
> > Io direi di no. Per� se � come dico io come fai poi a identificare una
> > matrice hermitiana con un'altra che non lo �. Vedi pi� avanti.
> E' ovvio che si': se H e' hermitiana, anche U H U+ lo e', per
> qualsiasi U unitaria (non solo in SU(2).
Guarda la risposta a Tetis.
La matrice csicsi+ � hermitiana, quindi anche Ucsicsi+U+ � hermitiana come
dici tu giustamente(Tetis ci insegna che questa operazione si chiama azione
aggiunta sullo spazio dei vettori). Ma la matrice - H che si trasforma come
csicsi+ NON � hermitiana. Basta che fai il complesso coniugato trasposto e
vedi che csi1*^2 in generale non � uguale a - csi2*^2. Si trasforma come non
significa che la metti tra una matrice unitaria e la sua U+. Vuol dire che
come
csi' = Ucsi
cos�
csi' * = Ucsi*
dove con csi* non intendo il complesso coniugato ma un altro molto
particolare spinore complesso che � nel mio caso � -csi2*
csi1*
Comunque se dai un'occhiata alla risposta a Tetis � spiegata chiaramente la
mia perplessit�.
> > E' solo identificando queste due matrici che fa l'omeomorfismo tra
> > SU(2) e O(3).
> Si sta parlando di omOmorfisno, non di omEOmorfismo, che e' un'altra
> cosa.
> Omomorfismo e' una mappa tra strutture algebriche, che conserva la
> struttura.
> Omeomorfismo e' una mappa tra spazi topologici, bigettiva e bicontinua.
Scusami hai ragione. Probabilmente il libro � approssimativo come dici tu.
Ma la colpa non � mia.
Anche il nostro profe � approssimativo comunque. Magari il libro lo ha
scelto per questo. A lui piace per la trattazione completa dell'equazione di
Dirac. Usa il termine si comporta come, il simbolo di equivalenza.
Comunque se dai un'occhiata al paragrafo 3.3 del Sakurai anche questo non
parla di SO(3) ma parla pi� genericamente di O(3). Devo concludere che anche
il sakurai � approssimativo?? Il Rossetti non ne parla proprio. Caro Elio,
io ho studiato su questi libri. Consigliamene tu uno buono a questo punto.
> > Dice che una trasformazione SU(2) su uno spinore complesso equivale a
> > una trasformazione O(3) (e non SO(3) come dici tu elio) su un vettore
> > tridimensionale n.
> Lo dico perche' e' cosi', c...o!
> Fai una cosa: la matrice diag(-1,-1,-1) appartiene a O(3). Ora prova a
> costruirla nel modo che dici.
> Poi prova a dimostrare che non si puo'...
Mi verrebbe da dire che questa matrice mi manda un generico vettore nel suo
simmetrico rispetto all'origine delle coordinate. Per esempio se prendo un
vettore nel piano xy mi ruota il vettore di 180 gradi. Adesso io voglio
vedere se c'� una corrispondente matrice unitaria con determinante uguale a
1 che corrisponda a questa rotazione. Direi che esiste e che � la matrice
2x2 diag (i , - i). Questa matrice � unitaria, ha determinante 1, quindi
appartiene al gruppo SU(2) e corrisponde a una matrice di rotazione di 180
gradi nel gruppo O(3). Dimmi dove sbaglio...
Grazie per la risposta.
Filiberto
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Received on Fri Aug 10 2007 - 02:58:38 CEST