Re: Unita' di misura per il tempo

From: dumbo <_cmass_at_tin.it>
Date: Fri, 13 Jul 2007 00:32:05 +0200

"Nicola Sottocornola" <Nicola.Sottocornola_at_fastwebnet.it> ha scritto
nel messaggio news:m5Tki.50419$y05.50253_at_tornado.fastwebnet.it...

> L'articolo (in realta' la trascrizione della conferenza "Cosmology
> and the gravitational constant") di Dirac parla, tra l'altro,
> proprio di questa "coincidenza" (senza citare Weyl) ricordata da
> dumbo:

non conosco la conferenza, ma forse ho capito perch�
non cita Weyl; secondo me � per almeno due ragioni:

1) il modello di Weyl era statico (questo ho dimenticato
di dirlo nell'altro post, rimedio adesso) e quindi il
Tu di Weyl va inteso come il raggio di curvatura
dello spazio statico diviso la velocit� della luce:
questo "tempo di Weyl" � dello stesso ordine di
grandezza del tempo ~ 10 mililiardi di anni
trascorso dall'inizio dell'espansione a oggi
pur avendo un significato fisico diverso
(che abbia lo stesso ordine di grandezza non sorprende,
perch� su basi dimensionali si vede che ogni teoria
cosmologica relativistica e quindi coinvolgente la
costante gravitazionale G e la densit� di materia D
deve portare a un " tempo cosmologico " , qualunque
cosa significhi questa espressione, dell'ordine di
1 / sqrt ( G D ) ~ qualche decina di miliardi di anni.

Invece Dirac conosceva l'espansione dello spazio
e per lui il Tu era l' et� trascorsa dall'inizio
dell'espansione.

2) L'obiettivo di Dirac era meno ambizioso di
quello di Weyl: Dirac non proponeva nessuna teoria
unificatrice di microfisica - cosmologia, ma semplicemente
accettava la coincidenza come espressione di una legge
di natura sottostante ancora da scoprire (discostandosi in
questo dalla "spiegazione" antropica, nota che metto spiegazione
tra virgolette...) e cercava di trarne delle conseguenze
osservabili nuove: per esempio, la variazione nel tempo di G
(se guardi bene la coincidenza, capisci subito perch�
gli sia venuto da pensare a G variabile).

>> se esprimi in questa unit� il tempo Tu trascorso
>> dall'inizio dell'espansione dell'universo fino a oggi
>> cio� 14 miliardi di anni ~ 4 * 10^17 s (...)
>> ottieni l'enorme numero (ovviamente
>> adimensionale) 10 ^ 40 , infatti
>>
>> T / Tu ~ 10^40

scusa, ho scritto male il primo
membro, invertendo le lettere.
Bisogna leggere, ovviamente:
Tu/ T ~ 10^40

>> La stranezza sta in questo fatto:
>> 10^40 � all'incirca il rapporto
>> fra la forza elettrostatica e la forza
>> gravitazionale tra due elettroni (...)

appunto. Da qui (suggerisce Dirac)
G Tu = costante cio� G proporzionale a 1 / t
dove t � il tempo cosmico.
Questa impostazione � molto diversa da quella di Weyl.

> C'e' sotto pero' qualcosa di piu' sottile di un cambio di unita' di
> misura. Per es. alla domanda se un certo processo da lui descritto
> implicava la conservazione del momento guardate come risponde:

> [...] these questions, of whether you have conservation of something
> which is not dimensionless, don't have very much meaning. If a
> quantity has dimensions, then, whether it varies or not depends on
> what unit you use. You could say that "referred to mechanical unit,
> these things are conserved; referred to atomic units, they are not
> conserved.
> E qui mi sono perso...
>
> Qualcuno puo' commentare?

Non conoscendo la conferenza, non mi azzardo a fare
commenti. Per pensarci sopra bisognerebbe sapere
cos'� quel " certo processo" . Mi viene per� in mente
qualcosa, vedi alla fine del post.

Comunque ti dico fin d'ora che la G t = costante
porta a problemi proprio con le leggi di conservazione.
Considera l'equazione di campo di Einstein

E = G T ( 1 )

dove E � il tensore di Einstein e T il tensore energia-impulso
Poich� la divergenza del primo membro � identicamente nulla
(per le identit� di Bianchi: e qui non ci piove) deve annullarsi
anche la divergenza del secondo membro; ora, se G dipende
dalle coordinate (anche da una sola coordinata, come il tempo)
� chiaro che div (GT) = 0 non pu� implicare div T = 0
(cio� la legge di conservazione energia-impulso).
Del resto questa conclusione la puoi trarre anche restando
nella teoria newtoniana, anche l� si vede che se G varia
l'energia non si conserva.

Quindi devi cambiare la ( 1 ); puoi farlo in vari modi,
per esempio associando G a un campo scalare come
fecero Brans e Dicke e allora hai ancora div T = 0 ma a
prezzo di trovarti tra le mani equazioni molto pi�
complicate di ( 1 ) perch� ora hai una teoria scalare-
tensoriale invece di una "semplice" (si fa per dire)
teoria tensoriale. Un altro modo � introdurre
un termine cosmologico nella ( 1 ), scrivere cio�

E = G T + L g ( 2 )

dove g � il tensore metrico, e L � il famoso
lambda che a quanto pare c'� davvero, dato che
l'universo ha espansione accelerata. A prima vista
la div T = 0 sembra salvata se L cambia
in modo tale da bilanciare il cambiamento di G.
Per� sul rigore di un approccio del genere non ci
giurerei.

Alternativamente, puoi ricorrere al metodo
della doppia metrica che Dirac adotta sia
nei suoi primi lavori sull'argomento (del 1937 e
1938) sia nei suoi ultimi lavori degli anni settanta
(li trovi tutti, i primi e gli ultimi, nei
Proceedings Royal Society of London,
ser. A, non ricordo volumi e pagine ma fai presto
a rintracciarli. Mi pare per� che il primo, del 1937,
sia su Nature: una breve lettera al direttore).
E' un metodo dovuto originariamente
a Milne (Dirac infatti cita Milne nell'articolo del 1937);
personalmente lo trovo disgustoso, ma � un parere del
tutto personale, sai com'�, de gustibus...

Mi sembra talmente brutto che l' ho quasi cancellato
dalla mente, ma da quel poco che ricordo dovrebbe
consistere nell'uso di due diversi tipi di unit�, le unit� atomiche
e quelle gravitazionali (e credo sia a queste ultime
che Dirac allude quando nella conferenza che citi
parla di "mechanical units").
Puoi considerare costanti le prime e non le seconde,
oppure viceversa.

Se fai la prima scelta, hai L (il raggio classico
dell'elettrone) costante, e G variabile;
con la seconda scelta hai invece L variabile
e G costante; in questo secondo caso l'equazione
di Einstein ( 1 ) resta immutata e non d� problemi
con le leggi di conservazione. Le righe che hai riportate
penso proprio si riferiscano a questo trucco.
Lo trovi spiegato chiaramente nel famoso libro

J.V. Narlikar, Introduction to Cosmology,
Boston, anni ottanta.

bye
Corrado
Received on Fri Jul 13 2007 - 00:32:05 CEST