Silvio Abruzzo ha scritto:
> Salve. In molti libri di meccanica quantistica, facendo il calcolo
> della densit� di numero di stati nello spazio delle fasi, si usa il
> concetto di volumetto elementare nel suddetto. La derivazione del suo
> valore viene fatta in questo modo <<partendo dal principio di
> indeterminazione di heisenberg (delta x)(delta p) >= htagliato/2 �
> ovvio che il volume elementare � h^3...>>.
A mio parere questa spiegazione ha al piu' un valore euristico, ma ben
poco rigore.
In realta' una spiegazione rigorosa e' perfettamente possibile, per
es. al modo seguente.
Considera per cominciare il caso particolare di una particella libera
di muoversi in una scatola a pareti riflettenti, di lati l1, l2, l3,
Gli stati stazionari hanno autofunzioni
sin(k1*x1) * sin(k2*x2) * sin(k3*x3)
con k1 = pi*n1/l1, ecc.; n1, n2, n3 sono interi positivi.
Nello spazio (k1,k2,k3) c'e' dunque uno stato nel volume
pi^3/(l1*l2*l3) = pi^3/V (V volume della scatola).
Ora considera che per quelle autofunzioni a k1 corrisonde un impulso
ht*k1 ecc., quindi il volume nello spazio degli impulsi si ottiene da
quello detto moltiplicando per ht^3 (ht sta per h tagliato): uno stato
nel volume h^3/(8*V) dello spazio degli impulsi, ossia nel volume
h^3/8 dello spazio delle fasi.
C'e' il fattore 8 che non torna, ma e' dovuto al fatto chein realta'
le autof. di cui sopra non sono autof. del'impulso, ma contengono
*due* valori opposti per ciascuna componente dell'impulso, con segni
opposti.
Quindi in realta' il volume occupato nelo spazio degli impulsi e'
2*2*2=8 volte maggiore, ed ecco trovato h^3.
Resta solo l'obiezione che questa dimostrazione vale nel caso
particolare della scatola parallelepipeda; ma si puo' dimostrare che
asintoticamente la densita' degli stati non dipende dalla forma della
scatola, ma solo dal suo volume.
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Elio Fabri
Received on Sun May 06 2007 - 21:16:25 CEST