Re: teoria dei campi vs maccanica

From: Tetis <gianmarco100_at_inwind.it>
Date: Thu, 05 Apr 2007 00:55:51 GMT

Il 03 Apr 2007, 23:35, "argo" <brandobellazzini_at_supereva.it> ha scritto:
> Non mi e' chiarissimo il legame tra le due teorie.
> Per fare un esempio non mi e' chiaro come si impostano i conti per
> calcolare i livelli dell'atomo di idrogeno da un punto di vista
> relativistico campistico. E ancora: come si fa a passare dalla
> notazione di campo a quella di funzione d'onda che devo dire mi
> sembrano molto distanti?
> Grazie

Credo sia un tema delicato e che la distanza non sia solo
apparente.

Qualcuno ritiene che ci sia un'autentica contraddizione logica
fra la seconda quantizzazione e la teoria quantistica ondulatoria.
Qualcuno ritiene al contrario che possa avere significato parlare
di funzione d'onda e sua evoluzione con riferimento allo stato dei
campi e che le tradizionali funzioni d'onda sono valide nella misura
in cui si ammette la validit� di alcune procedure, legate alla
rinormalizzazione, della separazione fra le variabili.

Molto pragmaticamente la teoria ondulatoria pu� essere pensata
come una approssimazione di campo medio, ammettendo che
i gradi di libert� relativi ai campi possano essere trattati secondo
opportune ipotesi statistiche. Ma in termini pratici le questioni
sottese a questo aspetto sono molto delicate per via
dell'entanglement e del fatto che le procedure di rinormalizzazione
sono state pensate originariamente per sistemi di campi all'equilibrio.

La procedura standard per ottenere il limite ondulatorio consiste
nel considerare lo stato intero del sistema in termini di matrice
densit�, proiettare sui gradi di libert� che non interessano, ed
ottenere la proiezione della densit� lagrangiana efficace (gi�
rinormalizzata). Una applicazione molto semplice la puoi trovare
da te. Parti dalla densit� lagrangiana rinormalizzata di Maxwell
Dirac (QED): aggiungi al campo libero un campo esterno prefissato,
ad esempio il campo generato da un nucleo. Scrivi le equazioni
di Eulero Lagrange per questa densit� lagrangiana. Vedrai che somigliano
in tutto e per tutto alle equazioni di Dirac, la sola differenza � che
l'operatore
di Dirac lo trovi applicato su un campo. Ora procedi in questo modo:
pensa una base per il tuo spazio di Hilbert, e considera gli elementi di
matrice del campo fra il vuoto e questi vettori di base, e poi il contrario,
otterrai delle funzioni, queste funzioni, obbediranno le equazioni di
Dirac. Secondo che consideri gli elementi di matrice dal vuoto agli
stati o dagli stati al vuoto otterrai l'equazione di Dirac per il positrone
o per gli elettroni.

Da qui in poi puoi procedere a scrivere le equazioni di Heisenberg
su questa base. E' piuttosto tricky, ma � fatto bene sul Weinberg.
Quello che � piuttosto interessante per� � anche la domanda
contraria. Ovvero come si fa a passare da una teoria quantistica
ondulatoria ad una teoria statistica quantistica e relativistica?
Sembra qualcosa di assurdo ma � un argomento da non
trascurare.

Un modo � quello di considerare inizialmente la meccanica
statistica alla Boltzmann, quindi sostituire le parentesi di Poisson
con i commutatori. E' una generalizzazione di un approccio seguito
da Schwinger per introdurre la quantizzazione del campo
elettromagnetico. Si scopre che questa procedura d� sempre luogo
ad una teoria di gauge con l'aggiunta di una variabile ausiliaria,
che pu� essere interpretata come il tempo o come la temperatura.

Questo procedimento non era molto soddisfacente per via della
natura non relativistica dell'approccio. Fu sviluppato in direzione
relativistica negli anni
settanta da una serie di articoli che facevano uso dei quaternioni
e delle algebre di Lie. Finkelstein � stato uno dei maggiori propugnatori
di questo approccio. Questo sviluppo, per quanto a prima vista
artificioso diventa piuttosto naturale se si parte da una formulazione
covariante della fisica statistica, l'esigenza di riferire le parti fluide
le une alle altre fa il resto. Nel frattempo i modi di quantizzare
la meccanica statistica e la teoria dei campi classici sono andati
crescendo. Un modo di procedere recupera la complessificazione
vecchio stile, ma agisce muovendo dal principio di equivalenza
alla Weyl, ovvero postulando la simmetria conforme.

I gruppi di Lie nella meccanica statistica non relativistica sono inclusi
gratuitamente fin dall'inizio, perch� le strutture di vorticosit� intrinseca
sono classificate mediante le rappresentazioni irriducibili del gruppo
delle rotazioni. I fermioni e le rappresentazioni spinoriali si ottengono
per supersimmetria. L'ho appena pensata a dire la verit�, ma so che
in parte � gi� stata fatta questa teoria. Nell'introduzione al seguente
articolo c'� un assaggio del tipo di idee coinvolte:

http://www.arxiv.org/abs/hep-th/9904080

I campi massless sono di norma la regola quando si parte da una
formulazione statistica classica si ottengono equazioni delle onde
libere in forma di Klein Gordon, ma se si muove dalla simmetria
conforme oltre alle Klein Gordon ci sono le rappresentazioni proiettive,
gli spinori, e tutti i prodotti diretti e semidiretti delle rappresentazioni
locali. Quest'altro punto di vista � stato sviluppato da Senechal et al.

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Received on Thu Apr 05 2007 - 02:55:51 CEST

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