Il 21 Mar 2007, 20:34, Paolo Brini <paolo.brini_at_iridiumpg.cancellacom> ha
scritto:
> Luca Andreoli ha scritto:
>
> > Mi potreste spiegare di cosa si tratta ? Ammesso che sia possibile
> > spiegare una cosa cos� difficile in modo elementare ?
>
> Il prodotto cartesiano di quel gruppo di Lie (rango 8 dimensione 248, lo
> puoi immaginare come una matrice 453060x453060 in cui ogni elemento pu�
> essere un polinomio di Kazdhan-Lusztig) per se stesso (E8xE8) trova
> applicazioni in una teoria delle stringhe (supersimmetrica). In
> particolare, � il gruppo di simmetria per la teoria delle supercorde (o
> superstringhe, come preferisci) di tipo HE a 10 dimensioni dello
> spaziotempo, con corde chiuse.
>
> Se vuoi possiamo approfondire ma ti assicuro (o almeno io la vedo cosi)
> che sia i concetti, sia il formalismo di tutte le teorie delle
> supercorde (per teoria delle supercorde intendo teoria delle corde con
> supersimmetria forze-materia) sono un incubo.
Caso vuole che il giorno dopo aver letto questa cosa che avevi scritto,
mentre mi trovavo a riflettere sulla mia personale convinzione che la teoria
delle stringhe sia un modo di raccontare top-down una serie di indizi
accumulati
fenomenologicamente negli anni e che deve avere un corrispettivo bottom-up,
ricostruibile dal basso. Questo sarebbe, mi dicevo, da ritrovare nella
teoria
conforme delle transizioni di fase. Riflettendo su questi argomenti mi sono
ritrovato in libreria fra le mani un volume sul modello di Ising uno dei pi�
semplici
e studiati modelli di magnetismo (� studiato molto perch� quasi tutto si sa
risolvere)
Il modello di Ising pu� essere arricchito di contenuto fisico includendo
vincoli
dinamici. Ed ecco che fra le pagine di questo volume spunta che fra le
diverse
parametrizzazioni possibili quella dello spazio dei cosets in termini del
gruppo
E8 x E8 / E8.
> Non ho idea se E8 serva a qualsiasi altra cosa, probabilmente qualche
> matematico lo sapr�.
Uno dei contesti pi� curiosi dove compare � a proposito delle evolventi,
ovvero le caustiche di riflessione, di una curva di equazione y = x^3.
E' noto da tempo, Arnold lo ha messo in evidenza, che l'equazione di
questa evolvente pu� essere pensata in campo complesso, ed ha una
simmetria nota dal tempo di Klein. Klein si era trovato a studiare le
equazioni di quinto grado in termini di integrali ellittici, aveva
incontrato
il problema di legare le simmetrie di Galois delle equazioni con
l'effetto sulle soluzioni in termini di integrali ellittici. Aveva trovato
che un gruppo, che faceva spesso la sua comparsa era, irriducibilmente
il gruppo degli automorfismi descritto da una quintica che Klein conosceva
per essere un fattore, del ponomio di grado 20 i cui zeri riportati sulla
sfera di Riemann sono i vertici dell'icosaedro. E quindi curiosamente
Arnold rileggendo i libri del passato si emoziona a scoprire che
questo stesso gruppo, il gruppo delle isometrie dell'icosaedro �
coinvolto nella equazione della evolvente di una equazione semplicissima
come y = x^3. Arnold se ne accorge perch� ha passato qualche anno a
classificare le singolarit� che si possono trovare nelle forme normali
dei sistemi dinamici. Quello che io non sapevo ed ho scoperto in questi
giorni � che E8 ha a sua volta a che fare con il gruppo dell'icosaedro.
Il nesso � il seguente: i gruppi di simmetria puntuale sono sottogruppi
del gruppo delle rotazioni. Un risultato evidenziato da Coxeter � che la
geometria discreta di questi gruppi � rappresentata da diagrammi di
Dynkin (un libro di Antonio Pasini, allievo di Segre � dedicato a questo
intrigante soggetto delle geometrie combinatorie), bene il diagramma di
Dynkin del gruppo dell'icosaedro � il diagramma di Dynkin dell'algebra
di Lie di E8. Un diagramma ad otto vertici. Un altro nome di questo gruppo
� A5, il gruppo delle permutazioni pari di cinque elementi (noto appunto
a Klein per lo studio delle quintiche). Ovvero anche il diagramma dei
punti critici di x^5+y^3+z^2. C'� di pi�:
Un signore ha studiato le strutture quasi periodiche che possono essere
derivate da E8. Questo reticolo, ragionevolmente orientato, guida ad un
quasicristallo 4D che ha simmetria (3,3,5). Costui ha sviluppato una
versione modificata del metodo di proiezione. Il reticolo E8 � prima foliato
in gusci successivi che raccolgono i vertici, i gusci sono immersi in S7,
la sfera di dimensione 7. A questo punto questo signore usa la fibrazione
di Hopf di S7 per raccogliere le famiglie dei gusci dei siti di E8 in fibre
S3
che contengono 24 siti (o multipli di 24) che sono disposti simmetricamente
in S3. Grazie a questo stratagemma riesce alla fine a catalogare tutti i
gusci,
uno per uno, mediante uno schema simile a quello ad albero che prende
il nome di Fibonacci (detto anche schema ad albero della riproduzione nelle
colonie di conigli) , ed ottiene una formula aritmetica che d� il numero di
punti
dei gusci. Questo quasicristallo 4D ha l'interessante propriet� che pu�
essere
suddiviso, sgusciato, diciamo, in quasicristalli di dimensione pi� bassa,
per
esempio con simmetria icosaedrica e tetraedrica in tre dimensioni.
Ma il procedimento pu�, in un certo senso, essere invertito, in altre parole
questo esempio d� una concreta evidenza di come strutture geometriche
dello spazio euclideo ordinario possano dare luogo a simmetrie che
vivono in spazi di dimensione pi� elevata, come i sistemi di radici
dell'algebra di Lie di E8.
Infine ritorniamo alla "caratterizzazione" che avevo proposto nella prima
e-mail: E8 come gruppo degli automorfismi di E8 stesso. Vediamo di
precisare: E8 � l'unico gruppo la cui pi� piccola rappresentazione (di
dimensione minima), ovvero la rappresentazione fondamentale,
coincide con la rappresentazione aggiunta, per cui lo spazio le cui
simmetrie forniscono la rappresentazione, � generato dalla stessa
algebra di Lie di E8. E' tuttavia pi� comodo caratterizzarlo come il gruppo
delle isometrie del piano proiettivo ottonionico. Dove si intende che O
� uno spazio vettoriale su O e che le coppie di elementi di O (o1, o2)
possono essere attrezzate con la relazione di equivalenza:
(o1,o2) equivale (O1,O2) se la seconda � multipla della prima mediante
un ottonione (esistono quindi due possibili definizioni di equivalenza:
rispetto alla moltiplicazione a destra, o rispetto alla moltiplicazione a
sinistra, ho visto usata la seconda convenzione). E' opportuno fare
ancora riferimento ad Antonio Pasini ed al manuale di Buekenhout
per una costruzione dal basso di questa struttura. Dove per costruzione dal
basso si intende: mediante gerarchia di reti di Moebius ovvero
di spazi proiettivi di dimensione finita. Questo tipo di approccio seguito
per la prima volta da Jordan in via algebrica, permette di ridurre al minimo
i riferimenti allo spazio euclideo per le strutture di incidenza,
evidenziando
solo costruzioni algebriche, come i prodotti tensoriali e gli ideali
algebrici,
che sono di uso universalmente riconosciuto nella teoria dei campi,
per esempio. Questo tipo di approccio agli spazi proiettivi � presentato
molto bene nel libro di Projective Geometry di Beutelspacher Albrecht
(autore anche di un libro in forma di romanzo: Pasta all'infinito, il mio
viaggio matematico in Italia, libro che tradisce a momenti qualche giudizio
piuttosto severo sul nostro paese, sembra che qualcuno gli ne abbia dato
ragione, purtroppo: racconta di un tentativo di furto subito coltello alla
mano
in un ristorante di Catania). Seguendo questo approccio il dialogo fra
algebre
di Lie e gruppi di inviluppo delle algebre diventa alquanto trasparente.
> Una precisazione sulla notizia del Televideo: E8 � stato "decodificato"?
> Forse vogliono dire mappato (rappresentato come combinazioni lineari di
> spazi vettoriali)? E' un risultato notevolissimo in termini di calcolo.
>
> Ciao,
>
> Paolo
>
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Received on Sat Mar 31 2007 - 01:26:16 CEST