giorgio ha scritto:
> ho cercato e trovato questo NG per verificare una mia convinzione
> messa in dubbio da un ingegnere esperto di balistica e consulente di
> un comune conoscente.
> ...
> calcolo analitico con formula sottoriportata da parte del consulente e
> simulazione nel computer che evidenzia come due palle da 1 e 2 Kg
> rispettivamente cadendo da 50 metri si distanziano di ben 16 metri e
> di oltre 2 secondi
> ...
> in definitiva, dice il PC del consulente, quando la sfera da 2 Kg
> arriva a terra da 50 metri quella da 1 Kg � in ritardo di ben 16
> metri!
> da parte mia ho osservato che un simile risultato � perlomeno
> sconcertante, perch� � ben vero che Galilei non aveva gli strumenti di
> misura attuali ma 30 metri di differenza (in proporzione) li avrebbe
> visti ed il suo esperimento sarebbe quindi un clamoroso falso storico,
> peraltro mai prima d'ora messo in discussione
> ...
> Una verifica sperimentale fatta da un viadotto con un sasso ed una
> biglia di metallo confermava comunque che esse arrivavano praticamente
> in contemporanea, al di l� delle formule usate
> A questo punto il consulente ha dato in escandescenze (per interposta
> persona) affermando che non voleva pi� occuparsi della vicenda e che
> se volevo ulteriori spiegazioni gli dovevo pagare 500 euro!
Per cominciare, consiglio vivamente il tuo conoscente di cambiare
"consulente".
Ti autorizzo inoltre a far leggere quanto segue al suddetto "ingegnere
esperto di balistica", nonche' (a tuo dire) "professionista
affermato", perche' impari (gratis) un po' di fisica e di matematica
che evidentemente ignora.
Assumo un asse z verso il basso, con origine nel punto di partenza
della palla.
Le forze agenti su questa sono:
1) la forza peso m*g
2) la forza di Archimede, che posso scrivere -m*g*r'/r, dove r e' la
densita' della palla, r' quella dell'aria.
3) la resistenza dell'aria, che inquelcamo di velocita' puo' essere
schematizzata come -C*(1/2)*pi*R^2*r'*v^2, dove C per una sfera vale
circa 0.4, R e' il raggio della sfera, v la sua velocita' rispetto
all'aria.
Alcune semplificazioni:
a) Sommando insieme le due forze costanti ottengo m*g*(1 - r'/r), che
scrivo m*g'.
Ho posto g' = g*(1 - r'/r), che in molti casi e' praticamente uguale a
g, ma uso un simbolo diverso per generalita'.
b) Scrivo la resistenza dell'aria nella forma -m*b*v^2, dove
(tralascio i passaggi)
b = (3*C/8)*(r'/r)*(1/R).
Allora l'eq. del moto e'
dv/dt = g' - b * v^2
che si puo' integrare per via analitica (non occorre simulazione a
computer!) e da'
v(t) = p * tgh(t/q) (1)
con p = sqrt(g'/b), q = 1/sqrt(a*g').
Inoltre:
z(t) = (1/b) * ln cosh(t/q). (2)
Si puo' eliminare t dalle (1) e (2), ottenendo il tempo di caduta:
t = z/p + q * ln(1 + sqrt(1 - exp(-2*b*z)))
e la velocita' finale:
vfin = p * sqrt(1 - exp(-2*b*z))
Passiamo ai valori numerici: tu hai fornito il volume della palla (1
dm^3) al quale corrisponde R = 6.2 cm.
Nei due casi abbiamo le densita' r = 10^3 kg/m^3, r = 2*10^3 kg/m^3,
mentre r' = 1.3 kg/m^3.
Il resto e' solo questione di calcoli numerici, e do i risultati:
Caso 1 (massa 1 kg):
tempo di caduta = 3.281 s
vel. finale = 29.0 m/s
Caso 2 (massa 2 kg):
tempo di caduta = 3.237 s
vel. finale = 30.1 m/s.
Da qui si vede che quando il corpo di 2 kg tocca terra, l'altro stara'
a circa 1.3 metri dal suolo.
A questo proposito, mi pare che Galileo non dica esplicitamente di
aver fatto l'esperimento; ma ecco che cosa scrive nella quarta giornata
dei "Discorsi":
"... il mostrarci l'esperienza che che due palle di grandezza eguali,
ma di peso l'una 10 o 12 volte piu' grave dell'altra, quali sarebbero,
per esempio, una di piombo e l'altra di rovere, scendendo dall'altezza
di 150 o 200 braccia, con pochissimo differente velocita' arrivano in
terra, ci rende sicuri che l'impedimento e ritardamento dell'aria in
amendue e' poco: che se la palla di piombo, partendosi nell'istesso
momento da alto con l'altra di legno, poco fusse ritardata, e questa
molto, per assai notabile spazio devrebbe il piombo, nell'arrivare in
terra, lasciarsi a dietro il legno, mentre e' 10 volte piu' grave; il
che tutta via non accade, anzi la sua anticipazione non sara' ne' anco
la centesima parte di tutta l'altezza..."
Bruno Cocciaro ha scritto:
> Il fatto che lasciando cadere da una torre una palla di piombo insieme
> a una da ping pong quella di piombo tocca terra prima dell'altra e'
> una cosa nota a tutti ed immagino proprio che fosse ben chiara anche a
> Galileo.
Dubito che a quei tempi giocassero a ping pong :-))
Enzo Franchini ha scritto:
> Mi pare di ricordare che in realt� non esegu� materialmente
> l'esperimento, ma lo propose solo a puro livello di logica, per
> spiegare il suo assunto che i corpi subiscono tutti la stessa
> accelerazione, anche in ci� dimostrando la sua grandezza:
> ...
Direi che qui ti stai riferendo a un altro problema: non l'effetto
dell'aria, ma la validita' della legge di uguale accelerazione.
Quello che citi e' un "esperimento ideale" (che non ha a che vedere
con la logica, se non che ovviamente la logica e' usata in un
ragionamento...).
Purtroppo non ho ritrovato il passo, ma ricordo che G. confuta la
legge di caduta aristotelica (velocita' proporzionale al peso)
ragionando cosi'.
Supponiamo vera la legge aristotelica.
Prendiamo due corpi, uno leggero A e uno pesante B. Lasciamoli cadere
insieme, mettendo A sotto B.
A tende a cadere piu' lentamente di B, quindi lo frena. Risultato: il
corpo unito A+B, che pesa piu' di B, cade piu' lentamente di questo.
Contraddizione...
giorgio ha scritto:
> con la palla di piombo e quella da ping pong d'accordo: la spinta
> contraria di archimede vale meno di 1 gr e non ha influenza sulla
> pallina di piombo ma su quella da ping pong, che pesa appunto un paio
> di grammi, certamente si; su un palloncino da fiera � tanto influente
> da spingerlo in su.
La pallina da ping pong pesera' un paio di grammi, ma la spimnta
d'Archimede quanto vale? Roba di 20 o 30 mg: non e' questa che spiega
la differenza, neanche in questo caso.
Se vuoi puoi fare i conti con le mie formule, e vedrai che la
resistenza dell'aria e' assai maggiore della spinta
d'Archimede.
> Inoltre, non c'ero con Galilei ma, come detto, ho fatto una prova
> pratica con un sasso (p.s. 2 circa) ed una biglia di ferro (p.s. 9
> circa) di analoghe dimensioni lasciati cadere da 25 metri (terrazzo di
> casa): sono arrivati contemporaneamente (a occhio) mentre, dalla
> formula utilizzata dal consulente, avrebbero dovuto arrivare con metri
> e secondi di distanza.
Come hai visto sopra, la differenza in tempo e' esigua (centesimi di
secondo). Quella in spazio non tanto.
> D'altro canto, se la forza di attrito � analoga (stessa forma e
> dimensione) e la spinta di archimede � la stessa (stesso volume e
> stessa forma) cosa differenzia le due cadute?
> v=a.t
> t�= 2as
> dove "a" � costante
> "s" � lo stesso
> f attrito � uguale e rallenta entrambi allo stesso modo (proporzionale
> alla velocit�)
Qui e' l'errore: la forza e' la stessa (a parita' di velocita') ma
l'accelerazione no, dato che a = F/m.
Quindi la palla piu' leggera viene rallentata di piu' dalla res.
dell'aria.
L'unica questione e' sul "quanto"...
--
Elio Fabri
Received on Mon Mar 26 2007 - 21:08:21 CEST