Il 21 Mar 2007, 20:34, Paolo Brini <paolo.brini_at_iridiumpg.cancellacom> ha
scritto:
> Luca Andreoli ha scritto:
>
> > Mi potreste spiegare di cosa si tratta ? Ammesso che sia possibile
> > spiegare una cosa cos� difficile in modo elementare ?
>
> Il prodotto cartesiano di quel gruppo di Lie (rango 8 dimensione 248, lo
> puoi immaginare come una matrice 453060x453060 in cui ogni elemento pu�
> essere un polinomio di Kazdhan-Lusztig) per se stesso (E8xE8) trova
> applicazioni in una teoria delle stringhe (supersimmetrica). In
> particolare, � il gruppo di simmetria per la teoria delle supercorde (o
> superstringhe, come preferisci) di tipo HE a 10 dimensioni dello
> spaziotempo, con corde chiuse.
>
> Se vuoi possiamo approfondire ma ti assicuro (o almeno io la vedo cosi)
> che sia i concetti, sia il formalismo di tutte le teorie delle
> supercorde (per teoria delle supercorde intendo teoria delle corde con
> supersimmetria forze-materia) sono un incubo.
>
> Non ho idea se E8 serva a qualsiasi altra cosa, probabilmente qualche
> matematico lo sapr�.
Forse il modo pi� semplice di vederlo � come gruppo di
simmetria della variet� Spin(16)/SU(8). Questa struttura,
semplice da scrivere, � topologicamente molto ricca.
E corrisponde comunque solo ad una delle forme, quella
compatta, del gruppo.
Questa ricchezza d� luogo alla variet� di strutture ed alla
complessit� computazionale del problema di trovare le
rappresentazioni irriducibili ed il reticolo dei sottogruppi.
Per un assaggio basti pensare che Spin(4)/SU(2), poich�
Spin(4) ammette una fibrazione naturale in termini di
SU(2) x SU(2) � tridimensionale, ed ha la topologia del guscio
(tridimensionale) di una sfera in quattro dimensioni: S^3.
Per il problema del polimorfismo
basti pensare che l'inviluppo dell' algebra di
Lie di Spin(4) pu� dare luogo a diversi gruppi che hanno una
struttura locale essenzialmente isomorfa
fra queste la pi� nota in fisica � data
dal gruppo di Lorentz. A parte il gruppo SU(2) quasi tutti i
gruppi di Lie danno luogo alla circostanza di avere pi�
rappresentazioni fondamentali inequivalenti, ed esiste
un nesso fra il rango, le radici del gruppo,
e le rappresentazioni irriducibili. Quando si parla di E8 si
intende principalmente l'algebra di Lie associata al gruppo
compatto delle simmetrie di Spin(16)/SU(8), il cui rango �
otto e le cui radici formano un sistema concreto estremamente
complesso.
Altro esempio classico delle problematiche connesse alla
mappatura di problemi semplici �
fornito dal gruppo di simmetria del cubo. Il sistema geometrico
� molto semplice (il cubo appunto), ma lo studio delle rappresentazioni
irriducibili
e del reticolo connesso a queste rappresentazioni porta a notevole
complessit� combinatoria. Per un assaggio dei problemi connessi
al gruppo del cubo e le rappresentazioni irriducibili puoi consultare
gli appunti di Elio Fabri sulla teoria dei gruppi. Non c'� molto sulla
parte relativa alle tecniche computazionali concrete, che fanno uso dei
polinomi discreti, ma la problematica relativa alle rappresentazioni
(non solamente quelle irriducibili) ed alla loro costruzione � ben
legata ad alcuni esempi applicativi in fisica.
> Una precisazione sulla notizia del Televideo: E8 � stato "decodificato"?
> Forse vogliono dire mappato (rappresentato come combinazioni lineari di
> spazi vettoriali)? E' un risultato notevolissimo in termini di calcolo.
> Ciao,
>
> Paolo
>
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Received on Mon Mar 26 2007 - 20:24:51 CEST