Re: oscillatori accoppiati forzati

From: argo <brandobellazzini_at_supereva.it>
Date: 16 Mar 2007 08:44:08 -0700

guarana.giorgio_at_gmail.com ha scritto:

> Come ci si aspetta risponda un sistema di dieci oscillatori accoppiati
> ad una forza esterna oscillante ad una frequenza w (omega)
> prestabilita che agisce solo su uno dei 10 oscillatori , al variare
> della frequenza omega.

Direi che si fa usando la funzione di Green del sistema:
L'equazione differenziale in forma matriciale che descrive il tutto
e'

d^2/dt^2 Q(t)=-K Q(t)+ E(t)

(Q(t) e' il vettore di oscillatori, K e' una matrice diagonalizzabile
con tutti gli autovalori k positivi, E(t) e' una combinazione linerare
della forza esterna che hai aggiunto. Se le masse sono tutte uguali e'
proprio proporzionale a tale forza.)
E' un'equazione differenziale lineare non omogenea. Vai nella base in
cui K e' diagonale facendo una trasformazione ortogonale Q'=AQ e poi
si risolve appunto usando la funzione di Green G(t) del sistema e
applicando infine la trasformata inversa A^(-1):

Q(t)=A^(-1) integrale in ds {G(t-s) A E(s)}.

Conviene fare la trasformata di Fourier della soluzione cosi' si vede
bene chi e' G(t):

Q(w)= A^(-1) G(w) A E(w)=A^(-1) 1/[k^2-w^2] A E(w)

(Sempre in senso matriciale, (1/[k^2-w^2]) e' una matrice diagonale
con il singolo elemento diagonale di quel tipo in cui k^2 (autovalore
di K) dipende dall'indice di riga e w no).

Ora nell'esercizio che ponevi E(t) e' una funzione periodica ad una
certa frequenza w_0 ovvero E(w) e' una serie di delte centrate in w_0
e nelle altre subarmoniche nw_0.

Q(t)=A^(-1) sum_n A^(-1) 1/[k^2-n^2w_0^2] A E_n .

Inoltre E(t) era non nullo solo per un certo oscillatore. Dunque il
sistema entrera' in risonanza cioe' il sistema variera' molto dalla
situazione imperturbata ogni volta che la frequenza k/w_0=n (cioe'
ogni volta che il rapporto tra la radice quadrata di un autovalore di
k e' un multiplo intero della frequenza della perturbazione) a meno
che E_n non sia zero (cioe' non e' presente data subarmonica nello
spettro di E) o che l'oscillatore a cui la forza si accoppia non sia
discaccopppiato dal resto del sistema (in tal caso A E_n=0).

Ciao, spero di non essere stato troppo nebulso (e corretto!).
Received on Fri Mar 16 2007 - 16:44:08 CET