Re: insieme completo di autovettori ed operatori

From: Valter Moretti <vmoretti2_at_hotmail.com>
Date: 23 Feb 2007 13:31:59 -0800

On 22 Feb, 22:19, "MassimilianoG" <guaso..._at_libero.it> wrote:
> Aiuto...
> qualcuno mi pu� chiarire il seguente problema?
> Siano dati 2 operatori A e B che commutano.
> Allora io so che esiste un insieme completo di autofunzioni comune ad
> entrambi...


Sotto una caterva di ipotesi aggiuntive, a volte, � vero.
In dimensione finita l'affermazione � vera se gli operatori sono
almeno "normali": ciascuno di essi
commuta con ciascun aggiunto. In dimensione infinita � falso nel caso
generale (anche con operatori normali), anche se gli operatori sono
limitati, dipende dallo spettro degli operatori.
Pu� avere ancora senso l'affermazione se si lavora in spazi pi�
complessi di quelli di Hilbert (spazi nucleari) e si considerano
autovettori in senso debole o improprio...

>
> 1)Ora io mi scuso per la mia ignoranza, ma qualcuno pu� espormi pi�
> semplicemente il significato di questa frase?Che significa insieme
> completo di autofunzioni?
>

significa che tu stai lavorando in un certo spazio (di Hilbert se sei
in dimensione infinita) e che con gli autovettori comuni ai due
operatori puoi costruire tutti gli elementi dello spazio tramite
combinazioni lineari finite (o infinite, in dimensione infinita, o
ancora cose pi� complesse nel caso generale). Se gli autovettori sono
anche ortonormali, si parla di una base, ma possono non esserlo..

> 2)Il fatto che esista un insieme completo comune ad entrambi mi fa
> pensare che esistano anche insiemi di autofunzioni non comuni,giusto?
> Ci� significa che se io conosco tutte le autofunzioni dell'operatore A
> non necessariamente riesco a ricavare tutte le autofunzioni di B? Non
> � che magari ogni autofunzione di B � combinazione lineare delle
> autofunzioni di A?

si, sotto un bel p� di ipotesi...


> 3)Siano f1 ed f2 2 autofunzioni degeneri di A. Allora cosa posso dire
> riguardo il loro rapporto con B? Cio�, io so che se f1 ed f2 fossero 2
> autofunzioni non degeneri di A, lo sarebbero anche per B.Ma se sono
> degeneri?E' possibile che esista una loro combinazione lineare che �
> autofunzione di B?
>

 si ma non � obbligatorio.


Ciao, Valter
Received on Fri Feb 23 2007 - 22:31:59 CET