Il giorno venerdì 15 marzo 2019 18:54:02 UTC+1, Soviet_Mario ha scritto:
> mi sto incasinando a trovare il baricentro di una piramide a
> base quadrata con un vincolo ...
> il baricentro deve essere equidistante da tutti i vertici
> mi interesserebbe sapere essenzialmente lo spostamento del
> baricentro rispetto al piano della base, cioè di quanto deve
> stare sopra. Se chiamiamo X questo spostamento, e D la
> distanza da qualsiasi vertice (sia dai 4 alla base sia
> dall'apice) allora la piramide sarebbe complessivamente alta D+X
> per vie trigonometriche ottengo espressioni che non so
> risolvere, e per via geometrica un terzo grado completo di
> ogni termine che parimenti non so risolvere :\
>
PIRAMIDE QUADRATA
_ _ _ _ _ _ _ _
/\ ^
/ \ |
/_a(z) _\ H
/ |z \ |
/______|_______\ v
|<--------L--------->|
Come in figura:
L = lato del quadrato di base della piramide;
H = altezza piramide;
z = altezza generica di una "fetta" piana orizzontale, quadrata, di spessore dz;
a(z) = lato della fetta quadrata generica di cui sopra.
Il volume di quella fetta quadrata sara', evidentemente:
dV = [a(z)]^2 • dz
e la sua massa:
dm = ρ•dV = ρ•[a(z)]^2 • dz
dove: ρ = densità = M/V
M = massa piramide
V = volume piramide.
Mi serve a(z) e lo si calcola con la similitudine fra triangoli (vedere la figura):
a(z) / (H-z) = L/H
a(z) = (L/H) • (H-z)
Calcoliamo V.
V = integr [0;H] dV = integr [0;H] [a(z)]^2 • dz
= (L/H)^2 integr[0;H] (H^2 -2H•z + z^2)•dz
= H•L^2/3.
Adesso calcoliamo il centro di massa, CM, della piramide. Per simmetria si trovera' sulla verticale passante per il vertice in alto (la "punta") e il centro del quadrato di base, ad una altezza Z_CM.
Per definizione di centro di massa:
Z_CM = (1/M) integr[0;H)] z•dm
= (1/M) • integr[0;H)] z•ρ•[a(z)]^2•dz
= (ρ/M) • integr[0;H)] z•[a(z)]^2•dz
= (1/V) • integr[0;H)] z•(L/H)^2•(H-z)^2•dz
= (1/V)•(L/H)^2 • integr[0;H)] z•(H-z)^2•dz
= (3/H^3) • integr[0;H)] (z^3 -2H•z^2 + H^2•z)•dz
= (3/H^3) • (1/12)•H^4 = H/4.
Calcoliamo adesso quando si verifica che le distanze tra il CM ed i 5 vertici della piramide sono tutte uguali. La distanza tra CM e vertice in alto e' semplicemente H - H/4 = ¾ H.
Distanza dai verttici della base quadrata: la semidiagonale del quadrato vale L/sqrt(2) quindi la distanza cercata vale
sqrt{(H/4)^2 + [L/sqrt(2)]^2} = ¼ sqrt(H^2 + 8L^2).
Impongo che tale distanza sia pari a ¾ H:
¾ H = ¼ sqrt(H^2 + 8L^2) -->
--> 9H^2 = H^2 + 8L^2 --> H = L.
--
Wakinian Tanka
Received on Sat Mar 16 2019 - 13:31:07 CET