Re: help baricentro piramide con vincolo geometrico

From: *GB* <gb_zx_at_ymail.com>
Date: Sun, 17 Mar 2019 01:35:26 +0100

Il 16/03/2019 17:30, El Filibustero ha scritto:

>> Domanda: sapresti tu dimostrare con la geometria elementare che "il
>> baricentro della piramide ha _sempre_ distanza dalla base pari a 1/4
>> dell'altezza"?
>
> Un ragionamento elementare "cavalieriano" potrebbe essere il seguente.
> Si osserva anzitutto che e' cosi' per una piramide molto particolare,
> il tetraedro regolare: mediante il th. di Pitagora si puo' provare che
> la distanza del suo centro (cioe' punto equidistante dai vertici, che
> non puo' che essere anche baricentro) da un vertice e' tre volte tanto
> la sua distanza dal piano degli altri tre vertici.
>
> [...]
>
> Se poi il cono non e' piu' retto, sempre per via dell'omotetia il
> baricentro resta comunque a 1/4 della congiungente GV, e pertanto a
> 1/4 della distanza del vertice dal piano di base. Ciao

Un po' vaga la tua risposta e più forbita di calcoli quella di Wakinian
Tanka (a cui propongo di usare Alt+250 che dà · invece di •). Per parte
mia mi permetto di concludere con queste modestissime considerazioni
sparse, nell'eventualità che possano avere qualche interesse per l'OP.

Il baricentro geometrico coincide con il centro di massa fisico solo
quando la densità del solido è la stessa in tutti i suoi punti. Ma se
avessimo una piramide di vetro con una bolla d'aria inclusa,
difficilmente il centro di massa fisico coinciderebbe con il baricentro
geometrico, essendo la densità dell'aria molto minore di quella del vetro.

Invece quando la densità è costante in ogni punto, la massa è
proporzionale al volume: da D = m/V si ha m = D·V. Quindi sotto tale
condizione il baricentro è il centro di volume. Ciò significa che
facendo passare per esso un piano parallelo alla base, il volume della
piramide più piccola soprastante il baricentro deve essere uguale al
volume del tronco di piramide che rimane sotto il baricentro. Pertanto
il baricentro di una piramide si potrebbe anche ricavare uguagliando
quei due volumi.

E siccome il volume di ogni piramide (trigonale, quadrangolare,
esagonale...; regolare o irregolare; retta o non) e di ogni cono
circolare o ellittico è dato sempre da un terzo dell'altezza per l'area
della base, è facile intuire che per tutti quei solidi il baricentro si
trova sempre a un quarto dell'altezza a partire dalla base (o a tre
quarti dall'apice).

Il tetraedro regolare è una piramide trigonale. Ma l'ottaedro regolare?
Esso è una bipiramide quadrata (ovvero due piramidi quadrate unite per
le basi), solo che l'altezza di ciascuna delle due piramidi non è uguale
al lato e il baricentro si trova all'intersezione delle diagonali del
quadrato di base. Tenere conto di questo se la struttura pentacoordinata
da modellare è quella di IF5, in quanto la coppia di elettroni solitaria
si dirige a uno dei vertici dell'ottaedro e quindi lo iodio si trova nel
piano del quadrato di base (addirittura un po' sotto per via della
maggiore repulsione della coppia solitaria sui legami I-F) e non invece
nel baricentro di una piramide quadrata singola.

Bye,

   *GB*
Received on Sun Mar 17 2019 - 01:35:26 CET