Re: insieme completo di autovettori ed operatori

From: wiso <eheheheh_at_gmail.com>
Date: Fri, 23 Feb 2007 12:05:36 +0100

MassimilianoG wrote:

> Aiuto...
> qualcuno mi può chiarire il seguente problema?
> Siano dati 2 operatori A e B che commutano.
> Allora io so che esiste un insieme completo di autofunzioni comune ad
> entrambi...
>
> 1)Ora io mi scuso per la mia ignoranza, ma qualcuno può espormi più
> semplicemente il significato di questa frase?Che significa insieme
> completo di autofunzioni?

significa che le autofunzioni generano lo spazio in cui è definito A, cioè
ogni elemento di A lo scrivi come combinazione lineare delle autofunzioni.

> 2)Il fatto che esista un insieme completo comune ad entrambi mi fa
> pensare che esistano anche insiemi di autofunzioni non comuni,giusto?
> Ciò significa che se io conosco tutte le autofunzioni dell'operatore A
> non necessariamente riesco a ricavare tutte le autofunzioni di B? Non
> è che magari ogni autofunzione di B è combinazione lineare delle
> autofunzioni di A?

se non commutano avranno autofunzioni non comuni. Se le autofunzioni di A
formano una base per lo spazio su cui è definito B allora le autofunzioni
di B le puoi scrivere come combinazioni lineari di quelle di A.
 
> 3)Siano f1 ed f2 2 autofunzioni degeneri di A. Allora cosa posso dire
> riguardo il loro rapporto con B? Cioè, io so che se f1 ed f2 fossero 2
> autofunzioni non degeneri di A, lo sarebbero anche per B.Ma se sono
> degeneri?

vuoi dire che f1 e f2 hanno lo stesso autovalore? Che rapporto c'è tra A e
B? Se f1 e f2 appartengono allo stesso autospazio allora una loro
autofunzione appartiene ancora a quel sottospazio, che avrà dimensione 2
(supponendo che ci siano solo f1 2 f2 con lo stesso autovalore).


E' possibile che esista una loro combinazione lineare che è
> autofunzione di B?

sì, come hai detto prima, se A e B commutano...

comunque mancano un sacco di ipotesi, tipo gli operatori dovranno almeno
essere lineari, ...
Received on Fri Feb 23 2007 - 12:05:36 CET