E' dura da ammettere ma mi rendo conto di avere un'enorme lacuna di
intuizione
su una conseguenza del teorema adiabatico. Nella fattispecie pensavo ad un
rotatore
simmetrico con momento magnetico parallelo al momento angolare immerso in un
campo
magnetico. Il campo magnetico sia una funzione b(s) liscia da R in R^3. Che
varia fra due
valori differenti che assume in s=0 ed s=1. Poniamo ora b(t/T) una funzione
sull'intervallo
da zero a T. La condizione iniziale e' che S e' parallelo a b. Quello che mi
aspetto per il
teorema adiabatico e' che S si mantenga parallelo a b per tutto l'intervallo
nel limite in
cui T -> infinito. Tuttavia non mi riesce di dimostrarlo. Mi rendo conto che
basterebbe
ripetere passo passo la dimostrazione del teorema adiabatico e
specializzarla a questo
caso, ma speravo di trovare una spiegazione piu' intuitiva del fatto che la
conservazione
dell'energia richiede questo effetto.
Se considero le equazioni di Eulero e la derivata di b scalar S trovo b' S +
bS'=
b'S infatti S' = S x b e' ortogonale a b. Nel limite T -> infinito b' tende
a zero quindi
per ogni tempo finito trovo una variazione nulla di b scalar S. Ma questo e'
solo
perche' quando T tende ad infinito t/T tende a zero, quindi in pratica non
e' cambiato
nulla. Se anziche' in modo liscio la variazione di b avvenisse con N gradini
avrei
che al crescere di T dovrei sommare l'effetto di N piccole rotazioni intorno
ad altrettanti
centri distribuiti lungo la traiettoria. In pratica, per quasi ogni valore
di T trovo
un processo aleatorio in cui alla fine trovo una variazione della posizione
che scala
come 1/sqrt(N). Tuttavia ogni volta che T/N e' confrontabile con il periodo
di Larmor
lo spin rimane indietro di un angolo che cresce in modo indipendente da N.
In altre parole, a rigor di termini il limite non sembra essere definito.
Ovviamente
l'obiezione e' che in questo modo sto invertendo l'ordine corretto di
esecuzione del limite e
questo non e' permesso. Sto cercando di fare prima il limite per T->oo (e
non lo trovo)
e poi quello per N->oo. Ora, in effetti, se faccio il limite per N che tende
ad infinito
trovo la soluzione esatta e quindi mi sembra di tornare al punto di
partenza.
Posso evitare questa situazione adottando un procedimento intermedio, si
tratta
di far crescere sia N che T, impostando adeguatamente questo procedimento
posso
riportarmi ad una situazione in cui nel tempo T il sistema compie un certo
numero di
rivoluzioni di Larmor intorno al vettore. In particolare si puo' usare
questo numero
di rivoluzioni ed il tempo T come parametri di controllo sulla variazione
dell'angolo.
Quando la frazione di rivoluzioni tende ad infinito l'angolo tende a zero.
Quello che vorrei valutare criticamente e' il significato di questa
dimostrazione:
sia f(T,N) la funzione da valutare quello che voglio mostrare e' che
Lim T-> oo ( Lim N-> oo f(T,N)) = 0. In effetti ho solo mostrato che
Lim K -> oo ( Lim T-> oo f(T,KT)) = 0. Come la possiamo riscrivere
questo secondo risultato in modo da riottenere la tesi, ammesso
che sia possibile? In pratica ho mostrato che definitivamente esiste
K in modo che f(T,KT) e' definitivamente prossimo ad un numero g(K)
che tende a zero. Forse e' solo una questione terminologica.
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Received on Mon Feb 12 2007 - 21:07:40 CET