Re: Relativita' ristretta

From: Tommaso Russo, Trieste <trusso_at_tin.it>
Date: Mon, 18 Jun 2012 11:21:45 +0200

Il 17/06/2012 14:22, samuele12000 ha scritto:

> Salve,
> mi potreste spiegare la differenza tra queste due formule usate per
> trovare la distanza tra due punti visti da due diversi osservatori in
> moto uno relativamente all'altro con velocita' diverse ?
>
> x1 = x * sqrt (1 - v^2/c^2)


Ma dove mai hai visto qualcosa del genere scritto in questo modo? Cosa
si intende, *qui*, per x1 e x? Certamente non la stessa cosa che si
intende nell'altra:


> x1 =( x - v * t) / sqrt (1 - v^2/c^2)
>
> quando viene usata l'una, quando l'altra ?


La seconda non viene usata per determinare distanze, e nella prima usi
"x1" e "x" in maniera incoerente.


Partiamo dalla seconda: per essere piu' chiaro, te la riscrivo cosi'

(2) x1(A) =( x(A) - v * t(A)) / sqrt (1 - v^2/c^2)

dove x(A), t(A), x1(A) (e t1(A), anche se non lo usi) sono le
*coordinate* dello *stesso evento A* misurate nel riferimento S e nel
riferimento S1, che si muove nella direzione dell'asse x a velocita' v
rispetto ad S. Questa e' una delle trasformazioni di Lorentz, quella
della coordinata x di un evento dato.


(Di solito, anziche' S1, x1, t1, si usa S', x', t': ma non voglio farti
confusione cambiando i simboli.)


Dalla (2) puoi ricavare qualcosa *che assomiglia* alla tua prima: se
D(A,B) e D1(A,B) sono le distanze misurate rispettivamente nel
riferimento S e nel riferimento S1 fra due eventi distinti, A e B, che
avvengono alle stesse coordinate y e z:

D1(A,B) = |x1(B) - x1(A)|
         = |x(B) - v * t(B) - [(x(A) - v * t(A)]| / sqrt (1 - v^2/c^2)

e, *se e solo se* t(A) = t(B), ossia A e B sono *simultanei* nel
riferimento S (e quindi *non* sono simultanei in S1):

         = |x(B) - x(A)| / sqrt (1 - v^2/c^2)
         = D(A,B) / sqrt (1 - v^2/c^2)

da cui, invertendo

      D(A,B) = D1(A,B) * sqrt (1 - v^2/c^2).

(Nota che rispetto alla prima formula che hai riportato, la grandezza
senza indice, D, e la grandezza con indice 1, D1, sono invertite.)


Cosa significa questa formula? Supponi che un oggetto rigido (per
esempio un regolo lungo l'asse x1) sia *a riposo* in S1. Questo
significa che in S1 entrambe le sue due estremita' avranno sempre le
stesse due coordinate x1a e x1b: e quindi, qualsiasi cosa avvenga ad una
sua estremita', e qualsiasi cosa avvenga all'altra, avverranno sempre
alla distanza L_0 = |x1a - x1b|, che e' la *lunghezza propria* del regolo.

In S l'oggetto risulta in movimento: per misurare la sua lunghezza, un
operatore in S deve fare in modo da registrare due coincidenze
*simultanee*: per esempio, quella di un estremo dell'oggetto con lo zero
di una rotella metrica (evento A) , e quella dell'altro estremo con la
tacca "2,52 m" (evento B). Come lo possa fare e' un problema tecnico:
puo' ad esempio disporre lungo la rotella metrica tante cineprese e
confrontarne le riprese: l'importante e' che ogni cinepresa sia dotata
di un orologio che registri l'ora dello scatto su ogni immagine, e che
tutti gli orologi delle cineprese *siano sincronizzati*, per assicurarsi
che t(A) = t(B).

Per quanto detto sopra, in S1 A e B *non* sono simultanee, ma comunque
e' D1(A,B) = L_0. Quindi la lunghezza L misurata in S risulta minore di
L_0, infatti


L = D(A,B) = D1(A,B) * sqrt (1 - v^2/c^2) = D(A,B)
            = L_0 * sqrt (1 - v^2/c^2)

e probabilmente e' questa la formula, che si trova un po' dappertutto,
che hai riportato a memoria confondendo lunghezze con coordinate.


(Il fatto che L sia minore di L_0 viene spesso chiamato "contrazione
delle lunghezze". E' un termine fuorviante, evitalo: i regoli *non* si
contraggono per il fatto di essere misurati da un sistema di riferimento
in moto rispetto a loro: semplicemente, le coincidenze che risultano
simultanee in un riferimento non lo sono in un altro, per cui le misure
danno risultati diversi.)


--
TRu-TS
Buon vento e cieli sereni
Received on Mon Jun 18 2012 - 11:21:45 CEST