Ant.Flav wrote:
> "Luca" <postmaster_at_pres8.biz (W@!�!)> ha scritto nel messaggio
...
> Perdonatemi tutti, ma la spiegazione a cui rispondo � quella che mi
> chiarisce meglio le idee (pur essendo validissime anchel�e altre).
Contento tu... Io non ho trovato la "spiegazione" di Luca
particolarmente chiara.
Ho la forte sensazione che tu abbia delle idee un po' particolari su
scalari e vettori. In particolare mi sembra che confondi moduli dei
vettori con gli scalari e inoltre che consideri vettori solo il caso
particolare di vettori tridimensionali.
Siccome non capisco che background hai, provo a spiegare la cosa
cercando di evitare tecnicismi.
La definizione di vettore come quantit� dotata di modulo, direzione e
verso � onnipresente nei libri di testo delle superiori (e oltre). Non
� sbagliata ma occorre capire bene cosa significa realmente e cosa
viene limitato e cosa no dalla definizione.
Tanto per cominciare non c' � nessuna limitazione sulle dimensioni
dello spazio. Non c'� da nessuna parte, nel concetto di quantit�
vettoriale ,l' obbligo di avere a che fare con vettori 3D. Possiamo
applicare la definizioen a vettori del piano (2D) ma anche 1D o ND.
Considerare " pi� fondamentali" i vettori 3D pu� derivare dal come �
stato introdotto il concetto di vettore la prima volta che uno lo ha
incontrato ma non proviene da nessun principio n� matematico n� fisico.
Dopo di che, la definizione a base di modulo, direzione e verso,
sottolinea uno degli aspetti caratteristici di grandezze vettoriali e
cio� che dato un vettore (non nullo) viene immediatamente individuato
un insieme di oggetti della stessa classe (vettori) ottenibili dal
vettore dato per semplice moltiplicazione per un numero reale. I vettori
cos� ottenuti possono essere messi in corrispondenza biunivoca con i
punti di una retta. Siccome la retta ha due orientazioni possibili, il
verso del vettore corrisponde a scegliere un' orientazione della retta.
Quello che resta implicito nella definizione a base di modulo,
direzione e verso (per semplicit� la chiamer� la definizione a
freccette) sono almeno tre cose molto importanti.
1. esiste un modo per definire la moltiplicazione di un vettore per un
numero reale (lo scalare): se r � un vettore e a uno scalare a*r � un
vettore che ha la stessa direzione, modulo pari al modulo di r per |a| e
verso uguale o opposto a quello di r a seconda che a sia positivo o
negativo. Questo permette di sommare vettori con la stessa direzione.
2. esiste un modo per sommare due vettori qualsiasi (anche se non hanno
la stessa direzione). Questo corrisponde alla famosa "regola del
parallelogramma". Nota bene che cos� la regola deve essere data "a
parte" ripetto alla definizione di vettore in quanto non � contenuta in
quest' ultima.
3. il modo operativo di definire ed assegnare direzione e verso
presuppone di aver scelto un riferimento che significa di aver scelto un
certo numero di vettori "indipendenti" (non allineati, non complanari
etc...) rispetto ai quali abbia senso definire operativamente la
direzione e il verso. Il numero esatto di questi vettori indipendenti
� la dimensione dello spazio.
Per questo motivi i matematici da tempo hanno sostituito la definizione
a freccette con una pi� esplicita in cui si enunciano chiaramente tutti
i requisiti fondamentali di un insieme di vettori (per avere un' idea
prova a guardare sulla pagina di wikipedia relativa a spazi vettoriali).
Una cosa interessante � che per definire in modo utile un vettore non �
neanche necessario essere in grado di attribuirgli un modulo. Questa �
una caratteristica in pi� di cui godono alcuni spazi vettoriali ma non
tutti.
Tornando alla domanda di partenza, occorre fare attenzione a non
confondere vettori e scalari. Dal punto di vista fisico la cosa �
abbastanza semplice. Alcune propriet� fisiche sono vettori
(spostamenti, forze, campi elettrici, ...). Le propriet� fisiche in s�
non sono numeri (o n-ple di numeri) ma spostamenti etc. Noi possiamo
mettere in corrispondenza (tecnicamente rappresentare) queste quantit�
mediante numeri se scegliamo un riferimento (p.es. 3 forze indipendenti,
cio� non allineate e non complanari) e decomponiamo un vettore
assegnato come somma dei vettori del riferimento moltiplicati per
opportuni scalari. A questo punto gli scalari (le componenti)
rappresentano il vettore dato nel riferimento prescelto (i vettori
scelti come riferimento).
Rappresentare significa che tutte le affermazioni algebriche che
possiamo fare sui vettori possono essere tradotte in affermazioni su
n-ple di scalari (le componenti).
P. es., in termini di componenti moltiplicare un vettore per -1
corrisponde a moltiplicare ciascuna delle componenti per -1.
Nota bene che le componenti non sono i moduli e non hanno alcun obbligo
di essere quantit� positive.
Se allora i vettori sono rappresentabili come n-ple di numeri reali in
dimensione n, come faccio a sapere se una quantit� rappresentata da un
solo numero reale � o meno una quantit� vettoriale in 1 D ? (non pu�
essere un vettore in pi� di 1D perch� questi avrebbero bisogno di un
numero maggiore di numeri reali per essere rappresentati). La risposta �
semplicemente che non fa differenza.
A stretto rigore ogni quantit� fisica descritta da uno scalare pu�
esser considerata un vettore 1D (che non appartiene a nessun sottospazio
dei vettori posizione 3D). Infatti il numero che rappresenta la
propriet� fisica indica quante volte occorre prendere l' unit� di
misura (omogenea alla quantit� fisica che vogliamo misurare).
P.es. se dico che una carica elettrica vale 0.02 C posso copnsiderare
le cariche come vettori 1D in uno spazio astratto di cariche
elettriche in cui l' unico vettore di base (il riferimento) � la
carica di 1 C.
Questo non � il modo usuale di presentare le cose ma aiuta a capire
cosa succede quando cambio unit� di misura e perch� non posso sommare
p.es. temperature a lunghezze d' onda anche se la somma di numeri
reali � ben definita.
Non so se con questo sono riuscito a chiariti le idee o a confondertele
di pi� ;-). Fammi sapere.
Giorgio
Received on Thu Dec 21 2006 - 10:39:34 CET
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