Re: Sistema di equazioni differenziali

From: Valter Moretti <vmoretti2_at_hotmail.com>
Date: 28 Dec 2006 04:44:23 -0800

MauroM ha scritto:

> Ciao a tutti,
>
> quando si studia due molle accoppiate di solito
> si considera un istema molto semplice, masse uguali
> constanti di forza uguali. Ma io voglio considerare
> un sistema in cui i parametri sono tutti diversi.
> Quindi devo risolvere il seguente sistema di equazioni
> ( x1=x1(t) e x2=x2(t) ):
>
> m1*x1''=-(k1+k3)*x1+k3*x2
>
> m2*x2''=-(k1+k3)*x2+k3*x1
>
> Mi sapete indicare un cambiamento di variabili per
> avere un sistema pi� semplice ?
>

Il sistema lo riscrivi in forma matriciale

M X'' = A X

dove X � il vettore colonna trasposto del vettore riga (x1,x2),

M := diag(m1,m2)

A := -(k1+k3) k3

              k3 -(k1+k3)

Ora M la puoi scrivere come M= NN dove N = diag(m1^{1/2}, m^2^{1/2}),
ho tenuto conto del fatto che m1, m2 >0.
Quindi il sistema iniziale si riscrive:

N X'' = N^{-1} A N^{-1} N X

Ossia, se B:= N^{-1} A N^{-1}

Y'' = B Y

dove Y := NX

La matrice B � simmetrica per costruzione e pertanto si puo scrivere
come

B= R^{-1} D R

dove D � una matrice diagonale e R � una matrice di rotazione. IL
sistema di partenza
� dunque equivalente a

Z'' = D Z (1)

dove D � diagonale e Z= RN X.
Dato che D � diagonale, le due equazioni in (1) sono disaccoppiate e
si risolvono
facilmente trovando Z=Z(t). Infine la soluzione in X si ha da

X(t) = N^{-1} R^{-1} Z(t).

Ciao, Valter
Received on Thu Dec 28 2006 - 13:44:23 CET