ivan ha scritto:
> Buongiorno.
> Vedendo l'esperimento delle due fenditure trapassate da elettroni ( su
> cui per altro non ho ancor capito se di fatto realizzato o soltanto
> didatticamente posto )chiedo questo.
> Se l'elettrone non si divide ( e infatti credo nessuno abbia mai visto
> mezzo elettrone ) allora l'evento a ( passaggio attraverso la prima
> fenditura ) e l'evento b ( passaggio attraverso la seconda fenditura )
> si escludono mutualmente.
> La base del calcolo delle probabilit� dice che in questo caso P(A+B)=P
> (A)+P(B). Questa legge � chiaramente errata, applicata alla realt�,
> visto che, almeno nell'esperimento detto si produce interferenza.
> Mi viene spontaneo pensare ad una teoria della probabilit� in cui P
> (A+B) possa essere diverso da P(A)+P(B). Ma dove porta questa ipotesi?
> Si pu� costruire una teoria? Mi viene da pensare alla geometria in cui
> � negata l'ipotesi delle parallele.
> Possibile che nessuno ci abbia pensato?
Ciao, hai ragione la teoria delle probabilit� che si usa in MQ non �
quella solita. Ti racconto le cose elementarissime della questione
che sollevi (spero tu sia in grado di capirle, visto che non dichiari
quali siano le tue conoscenze di meccanica quantistica).
Per� un p� dovrai faticare.
Nella teoria della probabilit� si lavora su quella che i matematici
dicono essere una "sigma-algebra" di eventi (eventi in senso
statistico):
Questo significa quanto segue: gli eventi dei quali calcoli la
probabilit�
li puoi comporre usando due simboli che corrispondono all'unione ed
all'intersezione oppure, equivalentemente, al connettivo logico "o"
(disgiunzione) ed al connettivo logico "e" (congiunzione)
rispettivamente.
Il "sigma" significa che puoi fare anche unioni o intersezioni
infinite
numerabili... Non preciso gli altri requisiti insiti
nella nozione di sigma algebra che avrai visto o vedrai in qualche
corso
che si occupi delle nozioni di base della teoria della misura e
dell'integrazione... Una misura di probabilit� � una funzione m che
associa
ad ogni evento P un numero m(P) in [0,1], in modo tale che l'evento
che
corrisponde a tutto lo spazio campionario X (l'evento sempre certo)
valga 1.
Infine deve valere una richiesta di (sigma) additivit�: se una
classe di
eventi (al pi� numerabile) P_1,P_2,P_3,... � tale che gli eventi
siano a due
a due esclusivi, la probabilit� della loro unione � la somma delle
probabilit�:
m(P_1 o P_2 o ....) = m(P_1) + m(P_2) +....
In meccanica quantistica le cose sono fisicamente pi� complesse.
Considerando gli "eventi" di un sistema quantistico, ci sono eventi
che non possono essere composti con i connettivi detti, sono gli eventi
_incompatibili in senso quantistico_ pensa al caso
P= "la particella ha questa posizione" e Q ="la particella ha questo
impulso".
In senso operazionale, se P e Q corrispondono ad eventi
quantisticamente
incompatibili non esiste uno strumento di misura in grado di attribuire
un valore di verit� ("vero" o "falso") _contemporaneamente_ a P e Q e
quindi alla proposizione "P e Q" oppure "P o Q".
Questo implica che la nozione usuale di probabilit� non si possa pi�
usare
nello spazio degli eventi di un sistema quantistico, qualsiasi cosa
esso sia.
A posteriori dopo che i concetti fisici fondamentali della MQ sono
stati chiariti,
von Neumann e poche altre persone (sicuramente anche Dirac) compresero
che per un fissato sistema fisico (non teoria di campo), lo spazio
degli eventi
(che possono essere pensati come proposizioni che possono essere
"misurate"
con esito "vero" oppure "falso" e con le quali costruisci tutte le
osservabili),
deve essere messo in corrispondenza biunivoca con (alcuni) i proiettori
ortogonali dello spazio di Hilbert sul quale si descrive il sistema.
Parentesi: le osservabili generali le posso sempre decomporre in
proposizioni
elementari (questo � il significato fisico del famigerato teorema di
decomposizione
spettrale degli operatori autoaggiunti che si usa in MQ): l'osservabile
posizione
della particella lungo l'asse X non � altro che la classe delle
proposizioni
elementari:
P_E = "la particella ha posizione nell'insieme E"
al variare di E in tutti i modi possibili nei sottoinsiemi (Boreliani)
dell'asse X.
Quindi le proposizioni elementari sono prioettori nello spazio di
Hilbert
associato al sistema quantistico. Quale � il criterio per distiguere
coppie di
proposizioni quantisticamente compatibili da quelle che non lo sono?
Eccolo (von Neumann ):
se e solo se due proiettori (=proposizioni) P e Q commutano (PQ=QP),
allora corrispondono a proposizioni fisicamente compatibili in senso
quantistico per il sistema fisico: c'� uno strumento di misura in
grado di
assegnare valore di verit� contemporaneamente a P e Q.
Se P e Q sono compatibili si pu� allora definire il proiettore
ortogonale che
rappresenta la disgiunzione delle due proposizioni:
P o Q := P+Q - PQ
e quello che rappresenta la congiunzione
P e Q := PQ
I secondi membri sono ancora proiettori ortogonali a causa della
commutativit�
di P e Q, altrimenti non lo sarebbero.
Uno stato quantistico associa a _ciascuno_ dei proiettori che
rappresentano
le proposizioni elementari una probabilit� che sia vero se lo
sottopongo a
processo di misura. (in questo modo assegno valori di probabilit�
anche agli
esiti delle misure delle osservabili!)
Per� questa nozione di probabilit� non pu� essere qualla standard
perch�
l'insieme degli eventi ha ora una struttura diversa da qualla di sigma
algebra
(non sempre posso fare unioni e intersezioni di eventi)
Risulta per� che un insieme massimale di proiettori a due a due
commutanti
(pi� o meno quella che si dice in gergo "osservabile massima") sono
ancora
una sigma algebra e su questa si pu� costruire la solita teoria della
probabilit�.
Tuttavia ci� non � fisicamente sufficiente in quanto, gli stati di
sistemi fisici
caratterizzano le probabilit� _anche_ delle proposizioni fisicamente
incompatibili.
Allora bisogna generalizzare la nozione di probabilit� estendendola da
sigma
algebre alla struttura pi� complessa data dal reticolo R dei
proiettori
ortogonali su uno spazio di Hilbert. Questo � stato fatto e si
richiede che la
nuova nozione di probabilit� sia una legge che associ ad ogni
prooettore
ortogonale P in R un numero m(P) in [0,1] in modo tale che:
(1) m(I) = 1 dove I � l'operatore identit� (che � un proiettore
ortogonale
e corrisponde alla proposizione sempre vera).
(2) m si riduca ad una probabilit� standard in insiemi massimali di
prioettori
commutanti (non entro nei dettagli, ci sarebbe da dire molto).
Un celebre teorema dovuto a Gleason (il noto "teorema di Gleason")
dimostra che se lo spazio di Hilbert � complesso ed ha dimensione
maggiore di 2, allora le funzioni m suddette non sono altro che
quelli che
i fisici chiamano "stati misiti" o "operatori statistici" (operatori
di classe
traccia positivi con traccia unitaria).
Se rho � uno di questi opertaori statistici allora la misura di
probabilit�
associata m � data da
m(P) = tr (rho P)
per ogni evento (proiettore ortogonale) P in R. tr denota la traccia.
Gli stati puri, come probabilmente saprai o imparerai tra poco se sei
studente, sono dati dai vettori di norma unitaria nello spazio di
Hilbert
(considerati a meno di "fasi"), e sono un sottocaso degli stati puri
(sono
completamente individuati dalla richiesta di essere i punti estremali
nello spazio
degli operatori statisitici). In definitiva gli stati quantistici sono
le misure di
probabilit� quantistiche.
Ciao, Valter
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Valter Moretti
Dip. Matematica - Univ. Trento
http://www.science.unitn.it/~moretti/home.html
Received on Wed Dec 13 2006 - 11:12:17 CET