Bruno Cocciaro ha scritto:
> Ecco, io questa storia degli spazi vettoriali duali non l'ho mai
> capita.
> Prendiamo ad esempio R3 su R. Quale sarebbe il suo spazio duale ?
E che c'e' di profondo da capire?
Comunque, vedi appresso.
Enrico SMARGIASSI ha scritto:
> Lo spazio degli operatori lineari sullo spazio vettoriale, che, a sua
> volta, e' uno spazio vettoriale (isomorfo allo spazio originario nel
> caso p.es. di uno spazio di Hilbert). Nel caso di R^n, e' lo spazio
> delle matrici di rango n.
Ma no...
Il duale V^* di uno spazio vettoriale V sul campo K e' l'insieme delle
funzioni lineari V --> K.
Si dimostra che se V ha dim. finita, V e V^* sono isomorfi.
La dualita' sta nel fatto che il duale di V^*, che dovremmo chiamare
V^** e' in una relazione d'isomorfismo _naturale_ con V.
Qui "naturale" significa che non si tratta del banale isomorfismo,
realizzabile in infiniti modi, tra spazi di ugual numero di
dimensioni. Esiste invece un isomorfismo che masce dalla stessa
definizione di V^**, e non ha niente di arbitrario.
Sarebbe un po' lungo dare i dettagli, ma Bruno puo' forse leggere il
mio
http://www.df.unipi.it/~fabri/sagredo/varie/tensori.pdf
che e' proprio dedicato a questo argoemnto.
A proposito della dualita' in fisica, mi sono venuti in mente degli
esempi non proprio elementari, ma significativi.
Il primo viene dalla teoria dei circuiti lineari: la dualita' manda
maglie in nodi e viceversa, geenratori di tensione in gen. di
corrente, resistenze in conduttanze, induttanze in capacita'.
Altri esempi sono di solito chiamati "leggi di reciprocita'": penso
alle relazioni di Onsager, poi alla alla reciprocita' nei quadripoli
lineari passivi, che vale anche per le antenne.
Per es, in quest'ultimo caso il teorema dice che se hai un'antenna
trasmittente A e una ricevente B, e se una corrente I che alimenta A
produce una tensione V in B, allora la stessa corrente I che alimenta
B usata come trasmittente produce la stessa tensione V in A usata come
ricevente.
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Elio Fabri
Received on Thu Nov 30 2006 - 20:58:02 CET