Il 06 Nov 2006, 15:05, "Giovanni \"Darke\" Neiman" <darth.vader_at_libero.it>
ha scritto:
> l'equazione di continuit� mette in relazione il trasporto di una
> sostanza conservata e la sua origine (sorgenti).
>
> in un volumetto chiuso la quantit� o sta uscendo, o sta entrando, o
> sta nascendo, e la somma di ci� deve conservarsi.
Esempi, prego. La carica elettrica � sorgente del campo elettromagnetico,
quali sono le quantit� conservate associate al campo elettromagnetico?
Sono il complesso delle quantit� inscritte nel tensore energia impulso
pi� l'energia e l'impulso della particella. Il che � il risultato di lunga e
perigliosa
astrazione, che tutto sommato sembra funzionare e permettere una
formulazione lagrangiana della elettrodinamica, prima classica con qualche
difficolt�, poi quantistica con qualche difficolt� in pi�, qualche
difficolt�
in meno, ed una censura pi� alta sulle difficolt�.
Altro esempio: la carica elettrica � una densit� conservata, quali sono
le sue sorgenti? Ad esempio il campo elettromagnetico, che comporta
la possibilit� che si formino coppie tali che la somma di carica sia
conservata. Ma nell'elettromagnetismo classico la carica elettrica,
ad un certo punto della storia � stata considerata intrinsecamente
conservata, senza bisogno di sorgenti aggiuntive, e
la sua origine riposta nella notte dei tempi.
> ci� si applica a diverse casistiche, in ambiti abbastanza diversi:
> fluidodinamica, campo EM, distribuzione di probabilit� di una
> particella.
gi� perch�?
> oggi chiedevo al professore di QM dove stava l'origine di questa
> equazione. Velocemente mi ha accennato all'Hamiltoniana, ma allora mi
> � venuto in mente il teorema di Noether, mi ha detto che vedevo
> giusto, ma poi non � che io riesca ad esplicitare questa intuizione:
> che c'entra?
Ad ogni simmetria corrisponde una quantit� conservata.
E' il teorema di Noether. Gi� bella forza. Perch�? Perch�
profondamente quasi tutte le equazioni in forma variazionale che
scaturiscono da un principio lagrangiano in fisica possono essere
viste come costruite sopra dei principi di invarianza rispetto
a gruppi di trasformazione. E'
qualcosa che i fisici hanno capito dopo che Noether aveva
dimostratro il suo teorema.
Esempio: nella lagrangiana dell'elettrodinamica quantistica
la conservazione della carica e le correnti conservate
sono associate alla simmetria di Gauge, ma come si �
giunti a costruire queste lagrangiane? Nulla meno cercando
che verificassero dei principi di invarianza e di conservazione,
osservati in natura.
> Insomma cos'� che mi assicura che nel mio spazio una certa quantit�
> che si sposta secondo certe equazioni del moto, derivabili da una
> certa hamiltoniana secondo certi principi, etc. etc, si conservi?
Il fatto che le equazioni del moto devono risultare compatibili,
con la conservazione, rispetto alla dinamica, di un complesso
di quantit� conservate.
> * I liquidi si conservano, ed obbediscono alle leggi della dinamica
> (immagino)
E' gi� questo � un esempio di legge di conservazione noto a
prescindere da un principio lagrangiano o Hamiltoniano,
per quanto la credenza da Newton in poi, con poche eccezioni
e per lungo tempo, che dura fino ad oggi, � stata che i principi
di conservazione per i liquidi siano da considerare come effetto
del pi� generale principio di conservazione della quantit� di
materia.
La meccanica quantistica, nella formulazione di Yang-Mills ha
proposto uno schema generale che sussume in se, fondazionalmente,
un principio di conservazione lagrangiano legato all'invarianza delle
densit� lagrangiane rispetto ad un gruppo di simmetria. La novit�
radicale, e per certi versi preoccupante, delle teorie di Yang Mills �
che i principi di conservazione sono blindati nella struttura stessa
della teoria, in quanto le grandezze principali sono costruite come
rappresentazioni del gruppo di simmetria secondo criteri di compatibilit�
come la bilinearit�, degli elementi di matrice che entrano nelle
lagrangiane,
delle grandezze che obbediscono alla trasformazione aggiunta rispetto
alle grandezze che obbediscono alla trasformazione fondamentale.
La legge di conservazione nata dall'esperienza diventa un principio
costitutivo dei nuovi schemi, nonostante la logicit� dello schema
ci� che ne � a fondamento � un complesso articolato di dati di
esperienza. Puoi trovare, se ti appassiona l'argomento, una discussione
molto articolata sull'origine del tensore energia impulso in
elettromagnetismo,
nonch� sull'arbitrariet� della scelta del tensore energia impulso, nelle
lezioni
di Feynman.
> * Le cariche si conservano, ed obbediscono alle leggi di Maxwell +
> legge di Lorentz
Attenzione per� che la connessione � un pochino difficilina a livello
di elettromagnetismo classico non si capisce. Ovvero nell'elettromagnetismo
classico un conto � la conservazione della carica, un altro sono la
conservazione dell'energia e dell'impulso e del momento angolare.
Nella meccanica quantistica queste leggi di conservazione sono
ottenute tutte dal medesimo principio lagrangiano.
> * La probabilit� di una particella si conserva, ed obbedisce alla
> legge di Schroedinger
La funzione d'onda obbedisce l'equazione di Schroedinger, dal
che deriva la possibilit� di interpretare il modulo quadro della
funzione d'onda come una densit� conservata le cui correnti
puoi costruire a mano a partire dall'equazione di Schroedinger,
Anche se questa corrente � apparentemente indipendente dalla
specifica forma dell'equazione di Schroedinger occorre prestare
un poco di attenzione ad alcuni esempi di Hamiltoniane che
portano a forme di corrente leggermente differenti. Prova a
vedere ad esempio cosa succede se la tua Hamiltoniana contiene
un termine che dipende linearmente dall'impulso?
> Dove posso trovare la propriet� che la quantit� si conserva?
In alcuni quadri che l'uomo si � fatto del grande libro della
natura, e chiss� forse nel grande libro della natura :-)
Spesso in molte situazioni pratiche occorre per� sapere
andare oltre la comoda coerenza delle quantit� conservate.
La dinamica Birkohfiana � tanto poco studiata quanto
pi� versatile della dinamica Hamilton-Jacobi-Lagrange.
Senza compromettere l'unit� di principio dello schema
ne inquadra meglio la continuit� rispetto allo schema
newtoniano.
> ps nota che non so neanche se la domanda � ben posta...
Non preoccuparti del rigore, l'unit� di principio suscita sempre
un certo sbigottimento.
> ciao :-)
>
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Received on Mon Nov 06 2006 - 20:11:30 CET