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From: Luca Andreoli <luca0906_at_yahoo.it>
Date: Sun, 12 Nov 2006 17:43:29 +0000 (UTC)

Ho trovato questa pagina in rete e ve la voglio far vedere per poi porvi
una domanda.


Obiettivi: Concetto di derivata e di differenziale

TEMPO SPAZIO
  0 0
  1 4,9
  2 19,6
  3 44,1
  4 78,4

1. Un oggetto � lasciato cadere da una torre alta 100 metri e la tabella
precedente mostra, trascurando la resistenza dell'aria, gli spazi
percorsi (in metri) dalla sommit� in funzione del tempo trascorso (in
secondi).

Quale sar� la velocit� dell'oggetto dopo 3 secondi?

Una prima grossolana valutazione pu� essere data dividendo lo spazio
percorso per il tempo: 44,1
                         ------ = 14,7 m/sec
                           3

Ma la velocit� non � costante a causa dell'accelerazione di gravit� e
gli spazi percorsi sono dati approssimativamente dalla legge s=4,9t^2

Restringiamo allora l'intervallo, esaminando quello tra 2 e 3 secondi:

seconda valutazione 44,1 - 19,6
                      -------------- = 24,5 m/sec
                            1

Procediamo restringendo ulteriormente l'intervallo:

tra 2,5 e 3 (terza valutazione) 44,1 - 30,625
                                 ---------------- = 26,95 m/sec
                                      0,5
                            

tra 2,95 e 3 (quarta valutazione) 29,155 m/sec

e cos� via, possiamo ottenere valori sempre pi� precisi.

Possiamo anche studiare gli intervalli per tempi decrescenti:

tra 3 e 3,2 30,38

    3 e 3,1 29,89

     3 e 3,05 29,645

e osservare che(indicata con v la velocit�):29,155>v>29,645

Non riusciamo per�, in questo modo, ad arrivare al valore esatto della
velocit� al tempo t = 3.

Cerchiamo un'altra strada.

Indichiamo con h l'intervallo di tempo trascorso dopo i 3 secondi; in
tal caso lo spazio percorso sar� dato da 4,9(3+h)^2 , con h > 0.

La velocit� media nel tempo h sar� allora 4,9(3+h)^2 - 44,1
                                          --------------------
                                                   h
                                           

 e tale velocit� tende a 29,4 per h che tende a zero:
                     

In questo senso possiamo riguardare 29,4 m/sec come la velocit� v
nell'istante t = 3 sec.

Dopo questo lungo preambolo pongo la mia domanda:
si � visto che restringendo i tempi si ha un valore della velocit�
sempre pi� preciso,infatti abbiamo visto che con tempi tra
     3 e 3,2 30,38 m/sec

     3 e 3,1 29,89 m/sec

     3 e 3,05 29,645 m/sec
 che sono velocit� diverse ma comunque gi� abbastanza <vicine>
 ora invece io ho provato a considerare un intervallo di tempo
 di 0,01 ed avr� :
 s = 4,905*(3+0,01)^2
 s = 4,905* 9,0601 = 44,43979

 44,43979 - 44,1 0,33979
----------------- = --------- = 33 m/sec
    0,01 0,01

 e restringendo ancora di pi� l'intervallo con t = 0,001 sec avr� :
 s = 4,905 * (3+ 0,001)^2
 s = 4,905 * 9,006001 = 44,174434

 44,174434 -44,1 0,074434
------------------ = ---------- = 74 m/sec
    0,001 0,001

 ora � proprio quest'ultimo valore che mi mette in crisi......
 come � possibile uno sbalzo cos� grande nel passare da circa
 30m/sec a 74 m/sec ?
 evidentemente sono io che faccio un errore ma che non riesco a capire.
 Mi potreste aiutare ?
 Grazie





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Received on Sun Nov 12 2006 - 18:43:29 CET

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