Il giorno martedì 7 maggio 2019 17:30:03 UTC+2, Wakinian Tanka ha scritto:
...
> La dimostrazione la scrivo solo se me la chiede qualcun altro
Ma comunque potrebbe interessare chiunque leggesse il thread quindi la scrivo.
Ringraziero' chi mi fara' notare eventuali errori.
Un sistema fisico costituito da coppia e⁻ e⁺ che si avvicina e si annichila in due fotoni gamma non varia la sua massa durante il processo. Dimostrazione.
Per non complicare la trattazione considero il caso in cui le due particelle iniziali, e⁻ ed e⁺, si avvicinino lentamente, ovvero trascuro le loro energie cinetiche nel centro di massa (cdm), rispetto alle loro masse. Come riferimento prendo quello del cdm delle due particelle iniziali.
Sappiamo che la massa dell'elettrone, uguale a quella del positrone, vale 511 keV/c^2.
Indicando con:
E = energia del sistema prima dell'annichilazione;
p = quantita' di moto (qdm) del sistema (vettore) prima dell'annichilazione;
m = massa del sistema prima dell'annichilazione;
E' = energia del sistema dopo dell'annichilazione;
p' = quantita' di moto del sistema dopo dell'annichilazione;
m' = massa del sistema dopo dell'annichilazione;
si ha che p = 0 perche' le quantita' di moto di elettrone e positrone sono uguali e contrarie.
Utilizzando la nota equazione
E^2= (mc^2)^2 + (cp)^2 (1)
(nota che, poiche' p e' un vettore, l'ultimo termine e' da intendersi come cp.cp dove ". " indica prodotto scalare; oppure si puo' intendere, che e' la stessa cosa, c^2 |p|^2).
si trova che:
E = mc^2 (2)
dato che si trascura le energie cinetiche, l'energia e' la somma delle energie a riposo:
E = 511 keV + 511 keV = 1022 keV
quindi in base alla (2) la massa del sistema vale:
m = E/c^2 = 1022 keV/c^2
quindi e' la somma delle masse di elettrone e positrone (questo e' vero, come si e' visto, SOLO perche' in questo processo trascuro le energie cinetiche) .
Che succede dopo l'annichilazione?
Sappiamo che l'energia totale e la quantita' di moto totale devono conservarsi; poiche' non ci sono altre energie e quantita' di moto, oltre quelle del nostro sistema, l'energia, E' e la quantita' di moto, p' del sistema sono uguali a prima:
E' = E
p' = p = 0
Che p' sia nulla si vede sperimentalmente: i due fotoni γ vengono emessi lungo la stessa direzione, in versi opposti, con energie uguali. Poiche' la quantita' di moto di un fotone, o di un impulso di luce, di energia E_γ, vale, in modulo, E_γ/c, si ha che la qdm totale vale E_γ/c - E_γ/c = 0.
Dunque usando ancora la (1):
E'^2 = (m'c^2)^2 + (cp')^2
diventa:
E^2 = (m'c^2)^2
-->
m'c^2 = E
-->
m' = 1022 keV/c^2
Cioe' la massa _del sistema_ non e' variata nel processo.
--
Wakinian Tanka
Received on Thu May 09 2019 - 14:47:26 CEST