Il 29 Ott 2006, 22:54, Giorgio Pastore <pastgio_at_units.it> ha scritto:
> Elio Fabri wrote:
> > giovanna.velanti_at_yahoo.it ha scritto:
> ..
> >> Q = Q(q p) P = P(q p) � canonica sse trasforma il campo vettoriale in
> >> un altro anch'esso avente componenti uguali alle derivate parziali di
> >> una funzione
> >> Z = z(Q P)
> Credo che preliminamente ad ogni ulteriore discussione dovreste
> chiarire meglio il significato dei termini.
>
> Se non sbaglio quella che Elio chiama trasf. canonica � un caso
> particolare di quella cui fa riferimento giovanna.velanti.
>
> Se non ricordo male in letteratura si distingue tra tr. canoniche
> (quelle di giovanna) e quelle completamente canoniche o "canoniche
> univalenti" (quelle di Elio).
Su questa faccenda la confusione in effetti ha origini antiche.
Le trasformazioni canoniche possono essere definite a partire
dallo spazio delle configurazioni nel formalismo lagrangiano,
in quel caso qualsivoglia ridefinizione delle coordinate generalizzate
implica un cambiamento nelle corrispondenti variabili coniugate,
ma conserva le parentesi di Poisson e quindi si tratta di trasformazioni
simplettiche. Arnold chiama canoniche le trasformazioni simplettiche e
solo quelle, scelta particolarmente apprezzabile per chi da' importanza
fisica a grandezze quali il volume di fase.
Lo stesso Arnold considera poi una classe piu' generale di trasformazioni
chiamando in causa anche l'hamiltoniana, sono quelle trasformazioni tali
che esiste una funzione K ed una funzione S in modo che:
pdq -Hdt = PdQ -KdT + dS
anche in questo caso rimangono escluse trasformazioni come un fattore
di scala non unitario su P e Q.
> Molti risultati continuano a valere anche per le tr. canoniche senza
> ulteriore specificazione. Certo, le parentesi di Poisson o di Lagrange
> tra variabili coniugate non varranno delta_ij ma delta_ij per una
> costante.
E' una specie di indebolimento in senso conforme della definizione
di struttura canonica, pero' onestamente non ho trovato molti testi
che siano conseguenti. Ovvero chi adotta la definizione secondo
cui risulta conservato il carattere Hamiltoniano della dinamica poi
dovrebbe discutere ampiamente quale e' la forma piu' generale di
queste trasformazioni ed invece spesso si tratta di una semplice confusione.
> Non � un argomento che ho sotto mano (sono passati molti
> anni da quando ho studiato meccanica e dovrei andare a rileggermi un
> paio dei miei testi preferiti di meccanica analitica ma non ne ho il
> tempo) ma credo che l' interpretazione geometrica che giovanna sta
> cercando sia strettamente connessa alle trasformazioni di contatto.
La struttura di contatto della meccanica richiede di considerare anche
l'Hamiltoniana ed aggiungere il tempo alle variabili, su questo punto pero'
e' facile avvolgersi fra le nebulosita'. Lo stesso Arnold sminuzza il tema
in
piu' parti del suo libro e non mi sembra che metta adeguatamente in risalto
il diverso ruolo che ha il tempo rispetto alle altre coordinate. Ad ogni
modo
ha una chiarezza rivoluzionaria nel trattare il tema con le forme
differenziali.
Ad esempio con la nozione di linea rotore evidenzia esattamente una
struttura
di piani intrinseca allo spazio delle fasi esteso e sul quale un certo
problema
differenziale, l'esistenza di una forma differenziale esatta su una
sottovarieta'
trova soluzione. Sembra che se ne voglia avvalere per dimostrare
l'interpretazione della lagrangiana come funzionale d'azione e per
dimostrare
il teorema di Maupertuis, pero' poi aggiunge una nota in cui dichiara
esplicitamente
di non avere voluto sfidare il monito di Clifford(forse) a non trattare
questo
tema in modi innovativi che possano ostacolare la comprensione.
Devo dire che trovo la trattazione un eccellente esercizio di equilibrismo
fra esigenza di semplicita' espositiva e la scelta intrinsecamente ad alto
grado di
astrazione che deriva dall'uso delle forme differenziali, e che porterebbe
naturalmente
ad affrontare delle deviazioni panoramiche rispetto alle esposizioni
tradizionali,
tanto che poi si e' sentito in dovere di aggiungere appendici interamente
dedicate
ai punti di vista ed alle applicazioni piu' moderne sulla
geometrizzazione della meccanica.
> Giorgio
>
--------------------------------
Inviato via
http://arianna.libero.it/usenet/
Received on Tue Oct 31 2006 - 00:08:32 CET