Re: Interpretazione geometrica delle funzioni generatrici

From: Giorgio Pastore <pastgio_at_units.it>
Date: Wed, 01 Nov 2006 01:12:27 +0100

Elio Fabri wrote:
...
>> Se non ricordo male in letteratura si distingue tra tr. canoniche
>> (quelle di giovanna) e quelle completamente canoniche o "canoniche
>> univalenti" (quelle di Elio).
> Confesso di non aver mai visto l'accezione di tr. canoniche che dici.
> Riprendo l'argomento piu' sotto.

Riporto dal testo di Antonio Romano (non � un russo :-) "Lezioni di
Meccanica Razionale" (Liguori, 1977, ma credo che adesso ce ne sia una
versione aggiornata):

"Def: si chiamano coordinate canoniche quei sistemi di coordinate locali
su P2n (lo sp. delle fasi)in cui le eq. del moto conservano la forma
\dot p = -dH/dq
\dot q = dH/dp
Si indica con alfa_c l' atlante canonico (costituito da carte
canoniche) per P2n.
Si definiscono trasf canoniche tutte le strasf tra carte di alfa_c.
In pi� si definisce trasf. completamente canonica una trasf. che sia
canonica e in pi� tale che la funzione di Hamilton K relativa alla carta
(V,(Q,P)) coincide in U intersezione V con la trasformata della funz.
di Hamilton H relativa ad U a meno di una funzione localmente costante."

Dopo di che passa a dimostrare che una trasf � completamente canonica
se e solo se le parentesi di poisson delle nuove Q e nuove P sono zero e
quwelle delle Q_i P_j danno delta_ij. Nonch� che cond necesaria e suff.
  perch� le trasf dalle vecchie alle nuove p e q definiscano una trasf
  compl. canonica � che Q_k dP_k = q_k dp_k + df con df differensiale
di na funz definita sullo sp. delle fasi. Infine perch� una trasf.
sia completamente canonica � necessario e sufficiente che sia
simplettica, cio� lasci invariata la 2-forma fondamentale dello spazio
P2n.

Gantmacher considera il caso generale di Hamiltoniane dipendenti anche
dal tempo e usa la stessa def. di trasf canonica e mostra che in
generale una trasf. � canonica sse vale (Q_k dP_k -Kdt)= c(q_k dp_k -
Hdt) + df

dove K e H sono le hamiltoniane nelle QP e qp rispettivamente.
Dopo di che le trasf completamente canoniche coincidono con il caso
c=1 che Gantmachier chiama "univalente" (avendo battezzato con c la
valenza della trasf. canonica).


Alla luce di questo, io considererei la posizione di Arnol'd come
spostata verso le trasf. completamente canoniche ma non vedo un "errore"
  nella posizione di Landau (che poi non sia chiaro, � un altro
discorso...).

Giorgio
Received on Wed Nov 01 2006 - 01:12:27 CET