Il 01 Nov 2006, 01:12, Giorgio Pastore <pastgio_at_units.it> ha scritto:
> Elio Fabri wrote:
> Gantmacher considera il caso generale di Hamiltoniane dipendenti anche
> dal tempo e usa la stessa def. di trasf canonica e mostra che in
> generale una trasf. � canonica sse vale (Q_k dP_k -Kdt)= c(q_k dp_k -
> Hdt) + df
Con tutto il rispetto per Gantmacher il cui libro ho apprezzato
in piu' parti, era proprio questo il genere di inconsenguenzialita' a cui
mi riferivo. Da dove piove questa definizione? per quale motivo non potrebbe
essere (Q_k dP_k -Kdt)= c(t) (q_k dp_k) - Hdt + df ? Ammettiamo di volere
classificare la classe di trasformazioni che conservano la struttura
canonica
delle equazioni di Hamilton. Come si fa? Occorre qualche teorema che
permetta
di vedere se ed in che misura sono piu' generali delle trasformazioni
canoniche
usuali a cui siamo abituati dal formalismo lagrangiano. Ebbene occorre un
teorema
che potrebbe avere piu' o meno questo aspetto:
Sia X(x,t) una trasformazione di contatto che
che conserva la struttura canonica delle
equazioni di Hamilton per qualsivoglia Hamiltoniana.
Ovvero posto che S sia la matrice simplettica,
se per ogni H tale che x' = S grad_x K
esiste K tale che X' = S grad_X K
allora K(X,t) = a(t) H'(X,t) + K_o (X,t)
Dove K_0 corrisponde ad H = 0 ed H ' (X,t) e'
H espressa nelle nuove coordinate.
La versione corretta si trova sul libro di
Antonio Fasano e Stefano Marmi. E fa uso
di un lemma dimostrato nel 1991 da Giorgilli
che usa la condizione che la struttura canonica
delle equazioni e' conservata per ogni H iniziale.
Questo lemma dice che se per ogni H risulta che
il rotore della forma differenziale A(x,t) dH, dove A e'
una matrice, si annulla allora A(x,t) = a(t) I.
(una nota che avevo trascritto per me stesso:
somiglia al lemma di
Schur dove la condizione che la rappresentazione
e' invariante rispetto all'azione del gruppo e'
sostituita dalla condizione che l'irrotazionalita'
e' invariante per scambio dell'hamiltoniana, se si potesse sostituire
H con la densita' associata ad una misura sarebbe
esattamente la condizione di invarianza per un gruppo
di diffeomeomorfismi)
> dove K e H sono le hamiltoniane nelle QP e qp rispettivamente.
> Dopo di che le trasf completamente canoniche coincidono con il caso
> c=1 che Gantmachier chiama "univalente" (avendo battezzato con c la
> valenza della trasf. canonica).
>
> Alla luce di questo, io considererei la posizione di Arnol'd come
> spostata verso le trasf. completamente canoniche ma non vedo un "errore"
> nella posizione di Landau (che poi non sia chiaro, � un altro
> discorso...).
>
> Giorgio
>
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Received on Wed Nov 01 2006 - 16:15:41 CET