Re: Chiarimento su Huang - Meccanica Statistica

From: Marco <nbwba_at_tin.it>
Date: 18 Oct 2006 07:57:59 -0700

> L'approccio che hai indicato � quello di considerare N uguale al numero di
> stati a grana grossa del sistema, ma non si tratta di un vincolo stretto:

Esatto, � esattamente quello che ho fatto.

> "Chi ti impedisce, ad esempio, di considerare le copie dell'ensemble pari,
> a esempio, a un multiplo intero arbitrario di N?".

L'avevo sottinteso. Mettiamola cos�: quello che mi disturba � che, a
meno di moltiplicazioni per costanti arbitrarie, la mia \rho deve
essere fatta come ho indicato.

> E perch� dovrebbe essere sbagliato il tuo ragionamento?, la scelta
> rho(q,p) = 1 , nel volume dello spazio delle fasi accessibile al sistema e
> rho(q,p) = 0 fuori di esso � perfettamente accettabile, nel caso di
> sistemi all'equilibio termodinamico.

La \rho che ho derivato in quel modo corrisponde effettivamente
all'ensemble microcanonico di un sistema all'equilibrio termico. Niente
di strano. Il problema � che la mia derivazione � del tutto generale,
non fa uso del fatto che il sistema � all'equilibrio. Fa uso solo del
fatto che i parametri macroscopici non variano nel tempo. Quest'ultimo
fatto non corrisponde all'essere all'equilibrio. Infatti consideriamo
la solita espansione libera di un gas. Nell'istante immediatamente
successivo a quello in cui tolgo il setto che confina il gas in un
volume ridotto, i parametri macroscopici vengono subito settati ai
valori nuovi e rimangono fissi per tutta l'espansione, anche se il gas
non si trova all'equilibrio durante il rilassamento. Ovvero la funzione
\rho diventa immediatamente, nell'istante in cui tolgo il setto, uguale
ad uno (o ad una costante, vista l'obiezione che mi hai mosso sopra)
negli stati che soddisfano le condizioni macroscopiche, 0 altrimenti.
Capisci bene che in quest'ottica non ha alcuna utilit� il postulato
dell'equiprobabilit� a priori espresso dalla relazione \rho = costane
negli stati che soddisfano le condizioni macroscopiche, 0 altrimenti,
visto che la funzione \rho, come ho dimostrato, soddisfa
automaticamente questi requisiti anche se il sistema non �
all'equilibrio.

Se invece parlassi di probabilit� fin da subito, � chiaro che, appena
tolto il setto, il sistema si trover� con probabilit� 1 nella regione
di \Gamma che corrisponde a quelli stati che sono confinati nel volume
ridotto (quello dove era confinato il gas un istante prima). Per questo
dico che la probabilit� � qualcosa che sta "sopra ai punti". I punti,
per come li intendo io (e tu hai capito quello che intendo), sono gli
stati a grana grossa e quindi, per definizione di grana, sono
equispaziati in \Gamma.

> Inoltre non riesco proprio a vedere come e perch� tale scelta dovrebbe
> togliere significato al teorema di Lioville (che vale anche per sistemi
> termodinamici non in equilibrio) o al postulato di equiprobabilit� a
> priori.

L'equiprobabilit� l'ho discussa prima. Il teorema di Liouville �
assolutamente inutile se \rho = costante negli stati che corrispondono
ai parametri macroscopici, 0 altrimenti. Infatti la funzione che ho
derivato in generale soddisfa banalmente l'equazione di continuit� per
\rho.

Ciao e grazie
Marco
Received on Wed Oct 18 2006 - 16:57:59 CEST