Re: Chiarimento su Huang - Meccanica Statistica

From: Marco <nbwba_at_tin.it>
Date: 16 Oct 2006 05:06:41 -0700

F. Lopez ha scritto:

> Puoi specificare che capitolo e sezione del libro stai studiando?

Mi riferisco all'edizione italiana edita da zanichelli e condotta sulla
seconda edizione inglese. Il capitolo � il terzo, "Il problema della
teoria cinetica", la sezione � la 3.4, "l'ensemble di Gibbs".

La funzione \rho la interpreto come una distribuzione di probabilit�.
Ovvero \int_\Delta \rho(p,q,t) dp dq = probabilit� che il sistema
macroscopico sia rappresentato da un punto che giace nel volume \Delta
sottoinsieme dello spazio \Gamma. Con questa interpretazione acquistano
senso, almeno per me, tutti i discorsi fatti nel seguito, per esempio
il postulato di equiprobabilit� a priori, tradotto da \rho(p,q) costante se E <= H(p,q) E + \Delta, \rho(p,q) = 0 altrimenti.

> [...]
>
> tempo... \rho(p,q,t) Vorrei capire il tuo dubbio se interpreti un "volume
> infinitesimo" nello spazio delle fasi \Gamma come punto di singolarit� nello
> spazio reale? Se la tua risposta � si credo che bisogna ritornare un
> momentino a rivedere i postulati della Mec. Stat. ovvero come si definiscono
> gli stati accessibili al sistema non-isolato dai rispettivi Hamiltoniani
> H(p,q) per interpretare \rho e \Gamma nel modo idoneo, onde afferrare bene
> l'idea di *volume* continuo...


Quello che mi disturba �, in primo luogo, il linguaggio usato da Huang
con "densit� di punti rappresentativi". Secondo me sarebbe pi�
appropriato parlare di "densit� di probabilit�" nel senso che ho
specificato sopra. Ma con questa interpretazione faccio fatica a capire
i discorsi che portano alla dimostrazione del teorema di Lioville (il
numero di punti rappresentativi che escono da un volume V deve
eguagliare il numero di punto rappresentativi che scompaiono dal volume
V). Secondo me un punto rappresentativo non pu�, per evoluzione
microscopica del sistema, diventare non rappresentativo, a meno che io
non modifichi le condizioni macroscopiche (E, V, N). Cerco di spiegarmi
in altri termini: se io definisco l'Hamiltoniana del sistema,
mettendoci dentro anche il potenziale di contenimento che definisce il
volume V, ho fissato V ed N. Fissare E equivale a definire una
ipersuperficie dello spazio \Gamma, una variet�, lasciatemela chiamare
M, la ipersuperficie di livello definita da H(p,q) = E. Ora tutti i
punti di M sono punti rappresentativi del sistema macroscopico, quindi
appartengono all'ensemble per definizione dello stesso. Ora posso
pensare che, per qualche motivo, sia pi� probabile che il sistema si
trovi effettivamente in (un intorno di) (p1,q1) piuttosto che (p2,q2).
Ha senso quindi definire una densit� di probabilit� che tenga conto
di questo. In linea di principio questa distribuzione pu� cambiare nel
tempo, da cui \rho(p,q,t). Chiamiamo \Phi^t il flusso Hamiltoniano del
sistema. Certamente se \rho(p1,q1,t1) = c, mi aspetto (intuitivamente)
che \rho(p2,q2,t2) = c, dove (p2,q2) = \Phi^(t2-t1) (p1,q1). Quindi
capisco che ci deve essere una sorta di equazione che regola
l'evoluzione di \rho.
Ci� che non capisco riguarda il linguaggio che usa Huang che, come ho
gi� detto, si riferisce ad una densit� di punti rappresentativi, cosa
che non riesco a digerire. La distribuzione \rho � secondo me qualcosa
che sta "sopra" i punti rappresentativi. Spero che quest'ultima
immagine chiarisca un po' quello che intendo dire, se invece complica
le cose ignoratela :)

Spero di essere stato sufficientemente chiaro nell'esporre le mie
perplessit�.

Lopez, ti ringrazio per la risposta.

Ciao
Marco
Received on Mon Oct 16 2006 - 14:06:41 CEST