Re: Sulla definizione di derivata
La definizione
f'(x0) := Lim [ ( f(x) - f(x0) ) / ( x - x0 ), x -> x0]
�, come puoi facilmente vedere ponendo h= x-x0 ,
equivalente a scrivere:
f'(x0) = Lim [ ( f(x0+h) - f(x0) ) / h, h -> 0]
ovvero anche se sostituisci h con h/2
f'(x0) = Lim [ ( f(x0+h/2) - f(x0) ) / (h/2), h -> 0]
da questo punto per farti tornare la tua definizione sottrai e somma al
numeratore
f(x0-h/2), da cui
f'(x0) = Lim [ ( f(x0+h/2) - f(x0-h/2)+f(x0-h/2)- f(x0) ) / (h/2), h
-> 0]
se distribuisci il denominatore ottieni
f'(x0) = Lim [ ( f(x0+h/2) - f(x0-h/2)]/(h/2)+[f(x0-h/2)- f(x0) )] /
(h/2), h -> 0]
da cui poich� il secondo addendo ha come limite
Lim[f(x0-h/2)- f(x0) )] / (h/2), h -> 0]= -f'(x0)
questo significa che
Lim [ ( f(x0+h/2) - f(x0-h/2)]/(h/2)=2f'(x0)
ma allora
Lim [ ( f(x0+h/2) - f(x0-h/2)]/h= f'(x0)
c.v.d
(tutti i passaggi sono equivalenze logiche e quindi vale il se e solo
se)
Received on Tue Sep 12 2006 - 00:43:00 CEST
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