Re: Sulla definizione di derivata

From: argo <brandobellazzini_at_supereva.it>
Date: 12 Sep 2006 00:46:16 -0700

Sonia wrote:
[...]
> Partendo dalla definizione di derivata
>
> f'(x0) := Lim [ ( f(x) - f(x0) ) / ( x - x0 ), x -> x0]
>
> dimostrare che vale la definizione alternativa:
>
> f'(x0) = Lim [ ( f(x0+h/2) - f(x0-h/2) ) / h, h -> 0]


Chiamiamo L1 il primo limite e L2 il secondo

L1= Lim [ ( f(x) - f(x0) ) / ( x - x0 ), x -> x0]= Lim [ ( f(x0+h) -
f(x0) ) / h, h -> 0] (con h=x-x0)

L2= Lim [ ( f(x0+h/2) - f(x0-h/2) ) / h, h -> 0].

Vuoi dimostrare che se L1 e' ben definito ( cioe' esiste finito) allora
esiste finito L2 ed e' uguale ad L1.
Per definizione di limite puoi scrivere per ogni h

f(x0+h)=f(x0)+L1*h+O(h) con O(h) che e' una funzione infinitesima in h
cioe'

O(h)/h->0 per h->0.

Dunque f(x0+h/2)=f(x0)+L1*h/2+O(h/2) e f(x0-h/2)=f(x0)-L1*h/2+O(-h/2)
da cui

(f(x0+h/2) - f(x0-h/2))/h=L1+(O(h/2)-O(-h/2))/h

e quindi nel limite h->0 per la proprieta' dei limiti e di O(h) di
essere infinitesimo, cioe'

Lim[(O(h/2)-O(-h/2))/h,h->0]=
Lim[(O(h/2)/h,h->0]-Lim[O(-h/2))/h,h->0]=0,

si ottiene

Lim[(f(x0+h/2) - f(x0-h/2))/h,h->0]=L1.

Saluti.
Received on Tue Sep 12 2006 - 09:46:16 CEST