Il 28 Ago 2006, 12:26, "argo" <brandobellazzini_at_supereva.it> ha scritto:
Senza entrare nei dettagli delle cose che hai scritto, per il momento
non ho tempo, ti invito a pensare ad un punto di vista sulle
simmetrie in cui la descrizione dinamica delle leggi che regolano i
fenomeni non risulta modificata per effetto della simmetria, mentre
la descrizione del fenomeno considerato (che sia il medesimo fenomeno
o un nuovo fenomeno � indifferente) cambia.
Coesistono in effetti
vari livelli di arbitrariet�, come giustamente notavi: quello del
riferimento
(non ancora delle coordinate) e quello della gauge, da un lato ,
quello della base nello spazio di Hilbert dall'altro. Le prime due
arbitrariet� possono sempre essere viste come simmetrie e portano alla
possibilit� di agire sullo spazio di Hilbert applicando un'orbita
dell'operatore
di evoluzione temporale in un'altra orbita dell'operatore di evoluzione
temporale.
Permettono cio� di costruire descrizioni corrispondenti a fenomeni
osservabili
che obbediscono alle leggi del moto della meccanica quantistica
da descrizioni di fenomeni osservati che obbedivano alle leggi del moto
della meccanica quantistica. La terza arbitrariet� invece sussiste ma non
� necessariamente associata ad una simmetria: non necessariamente
applica orbite in orbite.
Altro esempio di arbitrariet� che non corrisponde a simmetria:
in questo contesto (relativit� ristretta) il cambiamento generale di
coordinate, se non � una trasformazione lorentziana o galileiana, in
mancanza di un
cambiamento della forma delle equazioni che descrivono il sistema porta ad
una
contraddizione. Ovvero non applica soluzioni in soluzioni.
Diversamente una trasformazione di gauge non modifica le leggi del moto.
(ci sono delle sottigliezze legate agli sviluppi perturbativi ed ai vincoli,
ma
essenzialmente l'invarianza di gauge applica soluzioni in soluzioni)
In relativit� generale (e nella sua estensione quantistica) si vorrebbe
che, senza modificare la forma delle equazioni, il sistema di coordinate
possa essere scelto a piacimento. Questo porterebbe di certo
a vedere tutte le simmetrie, compresa quelle della relativit� ristretta
come simmetrie di gauge. Ad ogni modo allo stato attuale, nella teoria
quantistica relativistica sussiste una distinzione fra simmetrie di gauge e
simmetrie di
Poincar�. Inoltre nelle tradizionali presentazioni della QFT � spesso poco
chiaro l'aspetto intrinseco delle descrizioni, si parla di spazio degli
stati e di operatori perch� questa distinzione � necessaria nella
meccanica quantistica classica.
Ad ogni modo, lasciando da parte queste problematiche, facciamo
un altro esempio di simmetria.
Una simmetria che non � di gauge n� di poincar� � la simmetria
di scambio. In QFT � legata alle regole di commutazione dei
campi.
[cut]
> La cosa che non mi quadra e' che per l'evoluzione temporale U(t) nello
> schema di Heisenberg si procede diversamente: O'=O(t)=[U(t)]^(-1)OU(t),
> ovvero si scambia U<-->U^(-1) rispetto a quanto ho scritto sopra.
Distinguerei almeno in parte questa situazione, rispetto ad una
simmetria come pu� essere l'invarianza per traslazione temporale.
Nello schema di Schroedinger
lo stato evolve rispetto ad una base assegnata che non cambia nel tempo,
nello schema di Heisenberg la base cambia nel tempo in modo che la
rappresentazione "in coordinate" dello stato non cambi. Quindi gli elementi
di matrice cambiano nel tempo in accordo con quanto hai scritto. Preferisco
la parola schema alla parola rappresentazione, proprio perch� pure se si
tratta di una particolare rappresentazione parametrica degli operatori e
degli stati ha in se una filosofia differente: si tratta di uno schema
descrittivo differente, non dell'implementazione di una simmetria,
inoltre la rappresentazione dipende dal tempo.
> Inoltre in alcuni testi trovo la definizione di operatore trasformato
> O'=U^(-1)OU in modo che gli elementi di matrice di O' rispetto alla
> base {v_i} di H siano gli stessi di quelli di O rispetto alla base
> trasformata {Uv_i}.
> Quale e' il motivo di queste scelte piuttosto di quella che ho indicato
> sopra? E' forse dovuto all'interpretazione trasformazione
> attiva-passiva?
> Direi che e' cosi' (perche' per l'evoluzione temporale si tiene lo
> stato invariato e si trasformano le osservabili, e per trasformazioni U
> generiche si parla di cambiamento della base e non del vettore) pero'
> vorrei maggiore chiarezza.
Ogni simmetria ha per effetto una trasformazione che conserva l'ortogonalit�
e la norma dei prodotti scalari e che pu� essere
letta sugli stati fisici, come sulla base, ma quando
cerchi le correnti quello che fai � di studiare l'invarianza delle equazioni
e quindi della descrizione della fisica del sistema assumendo la
comune validit� di un principio lagrangiano che riflette l'indifferenza
della
descrizione fisica del sistema a certe specificazioni quali la gauge oppure
l'ubicazione spaziale del sistema, oppure una scelta di una terna destra
piuttosto che di una terna sinistra. In questo caso, in pratica conviene,
come
dicevo, il punto di vista attivo. Quando assumi come punto di partenza delle
equazioni
differenziali, va ancora bene il punto di vista attivo, scopri ad esempio
che
data una soluzione f(x,t) dell'equazione di Schroedinger puoi costruirne
un'altra considerando la funzione d'onda f*(x,-t). Ovvero
una simmetria permette di costruire nuove soluzioni da soluzioni note.
> Venendo alle trasformazioni del tipo 2)
> x-->x'=g(x),
> v-->v'=Uv.
> le cose si complicano. Intanto ora che si deve trasformare anche lo
> spaziotempo gia' non si capisce se si trasformano le coordinate di un
> punto P dello spazio tempo (trasformata passiva) oppure il punto stesso
> (trasformata attiva).
Una trasformazione che agisce sullo stato agisce anche sulla
rappresentazione dello stato nello spazio delle coordinate. Nel
caso pi� semplice in cui la trasformazione, una rotazione,
agisca su una funzione d'onda quello che cambia � l'ubicazione
della funzione nello spazio, ed in genere quindi la nuova funzione assume
nel punto f^(-1)(x) il valore che la funzione d'onda di partenza
assumeva nel punto x. Per le trasformazioni di Poincar� quello
che cambia � l'ubicazione della funzione d'onda nello spazio tempo,
passando per� alla teoria relativistica ed ai campi passano in
primo piano gli operatori. Ovvero
lo stato dinamico del sistema non cambia ma in pi� pu� risultare
che le diverse componenti del campo si comportano come un
gruppi di operatori, rispetto ad un cambiamento
dello spazio di Hilbert hanno un carattere multilineare: per esempio
il quadri-impulso oppure il tensore degli sforzi. Un campo vettoriale,
ovvero spinoriale, ovvero un campo scalare per limitarsi ai pi�
comuni. Consideriamo un campo vettoriale rispetto ad una rotazione:
F'^i (x) = U(O) F^i (x) U^(-1)(O) --> O^i_j F^j (O^(-1)x)
> Su testi e dispense trovo che un campo O(x) si trasforma cosi'
>
> a) O(x)-->O'(x)=U^(-1)O(x)U= S(g)O(g^(-1)x)
> (con S(g) matrice di una rappresentazione del gruppo G cui g
> appartiene) ovvero che
>
> b) O'(x')=S(g)O(x) o ancora UO(x)U^(-1)=D(g^(-1))O(x').
>
> Queste formule mi sono abbastanza familiari ma al tempo stesso mi
> risultano oscure.
> Si capisce dalla b) ad esempio che un elemento di matrice di O'(x')
> rispetto ad una base {v_i} e' combinazione lineare di elementi di
> matrice di O(x) (O(x')_{ij}=S(g)_{ik}O(x)_{kj}), pero' non capisco da
> dove esca la scelta di a) piuttosto chesso' di un'ipotetica legge del
> tipo O(x)-->O'(x')=U^(-1)O(x)U=S(g)O(g^(-1)x).
Ripeto il punto di vista in QFT � sempre quello di simmetria attiva. Pensa
sempre
che quando dici che la fisica in un riferimento � uguale alla fisica
in un riferimento che si muove di moto rettilineo uniforme rispetto
al primo, quello che stai dicendo � in pratica che: "lo stato dinamico
che nel secondo riferimento appare come nel primo � una nuova
soluzione delle equazioni dinamiche descritte nel primo riferimento".
Lo stesso quando dici che quello che � una soluzione in un certo
sistema ortogonale di coordinate � ancora una soluzione in un
altro sistema ortogonale ruotato rispetto al primo stai dicendo che
"lo stato che nel secondo sistema di coordinate appare come nel
primo � una soluzione delle equazioni descritte nel primo riferimento".
> Nella legge di trasformazione ci sia S(g) oppure S(g^(-1))=S^(-1)(g) ad
> agire sul campo non fa molta differenza perche' naturalmente anche
> S^(-1) e' una rappresentazione di G.
vero, ma la scelta della rappresentazione non � arbitraria se il campo
produce dei fenomeni osservabili. Ad esempio se ha senso parlare di
valori medi per il campo � chiaro che avere i medesimi
valori medi in un riferimento ed in un riferimento ruotato
non lascia liberi di scegliere arbitrariamente la trasformazione
del campo.
Tuttavia se O(x) e' un campo
> vettoriale la legge che ''funziona'' e' quella con S=dg e non
> S=dg^(-1): perche'? Anzi c'e' un motivo specifico per cui scegliamo la
> legge di trasformazione a) e non altre?
un motivo concreto?
> Grazie e saluti.
>
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Received on Wed Aug 30 2006 - 01:11:24 CEST