Il 29 Ago 2006, 16:01, "argo" <brandobellazzini_at_supereva.it> ha scritto:
> Nella studio della poca geometria differenziale che conosco e che ho
> imparato alla ''maniera dei fisici'', uno dei primi concetti che viene
> presentato e' quello di spazio tangente (in un punto) sul quale vivono
> i vettori (in quel punto). Sotto trasformazioni di coordinate i vettori
> si trasformano con la matrice jacobiana.
In quest'ottica � meglio pensare, inizialmente, ad una rotazione attiva pi�
che
ad un cambiamento di coordinate. Nel fibrato � bene pensare
ad una struttura metrica. Esiste allora il gruppo delle trasformazioni
che lasciano questa metrica invariata. A quel punto si pu� pensare
alla struttura di gruppo di invarianza ed alle sue rappresentazioni.
Alternativamente si pu� pensare di conoscere le simmetrie locali
e non la metrica, il gruppo delle simmetrie induce la metrica.
Come esercizio prova a considerare una norma differente da
quella euclidea e vedi come si comporta per rotazioni. Io ho
fatto questo esercizio ed ho trovato che se adottiamo una norma
qualsiasi come principio variazionale, troviamo un gruppo di
isometrie ridotto, il gruppo di isometrie pi� ampio � indotto da norme
quadratiche. Questa idea porta ad un teorema generale per cui
la metrica � individuata da un gruppo di simmetria compatto. Questo
punto di vista fu ripreso ed ampliato da Cartan che pone la scelta del
gruppo delle simmetrie alla base della costruzione della geometria.
> Quindi se ad esempio in uno
> spazio a metrica lorentziana si effettua una trasformazione di
> Poincare' (L,a) sulle coordinate x-->x'=Lx+a, i vettori si trasformano
> cosi' v(x)-->v'(x')=Lv(x)=Lv(L^(-1)(x'-a)).
> Si potrebbe a questo stadio introdurre oltre al concetto di vettore
> quello di spinore?
Con cautela. Infatti gli spinori non danno luogo ad una rappresentazione
del gruppo di invarianza della metrica iniziale, ma ne rappresentano
l'algebra di Lie, diversamente il gruppo che risulta dall'inviluppo della
rappresentazione dell'algebra di Lie ammette, nel fibrato tangente di
partenza una rappresentazione a due valori nello spazio spinoriale associato
al fibrato tangente una rappresentazione genuina. In generale Cartan
ha mostrato che esiste una mappa che ad ogni spinore associa un
vettore, mappa non iniettiva. Una questione su cui ho un dubbio � questa: se
seguiamo la
presentazione naive dei corsi di fisica gli spinori sono presentati come
elementi di C^2. In tal caso � un semplice esercizio verificare che
moltiplicando
per un numero complesso unitario la mappa dello spinore nello spazio
vettoriale non subisce cambiamento. D'altra parte se questa fase non c'�
all'inizio l'inviluppo dell'algebra delle rotazioni (SU(2)) non la induce.
Mentre pu� indurre un cambiamento di segno poich� -I � un elemento di SU(2).
Quello che mi chiedo, allora � se dobbiamo intendere gli spinori come
elementi
di C^2, come raggi in C^2 (tecnicamente elementi di uno spazio proiettivo
CP^2) o come
enti pi� sofisticati in cui sono distinte la semiretta + dalla semiretta -.
Da praticone
mi dico che la cosa pi� pratica non preoccuparsi tanto di questa
sottigliezza,
ma tenere liberamente la fase stando solo attenti alle fasi relative. Ma
in generale direi che pu� avere una certa importanza capire cosa pu�
succedere all'algebra del gruppo e capire se SU(2) come lo conosciamo
� il giusto inviluppo.
> Cioe' si possono introdurre spazi analoghi agli
> spazi tangenti in p per cui la trasformazione sotto cambiamento di
> coordinate sia data da una rappresentazione del gruppo?
E' l'idea di Cartan. La sua idea per�, non ancora la mia evidentemente.
Al di l� della presentazione intuitiva fornita da Cartan nel suo libro
dedicato alla teoria degli spinori, alcune delle idee sviluppate da
Cartan in seguito sono molto sofisticate, l'essenza � che alla maniera
di Klein si fissa il
gruppo di simmetria e si costruisce la geometria. Il catalogo di
Cartan dei gruppi diventa in tal senso un catalogo delle geometrie
costruibili secondo questo spirito. In questo catalogo rientrano
non solo la geometria euclidea, ma anche le geometrie proiettive,
e la geometria conforme.
> Nell'esempio sopra per uno spinore a due componenti s(x) mi aspetterei
> allora che s(x)-->s'(x')=D(L)s(x) con D(L) matrice usuale costruita
> con le matrici di Pauli.
Pi� o meno � cos� per� come dicevo ho un dubbio che deriva anche dalla
circostanza che esiste un modo alternativo di rappresentare gli spinori
ed in generale i punti su una sfera. Questo modo mutua il suo linguaggio
dal linguaggio della matrice densit� e consiste nel definire i punti come
matrici hermitiane in cui l'elemento S_ij � null'altro che l'elemento s_i*
s_j
questo modo di rappresentare i punti come matrici porta ad una
rappresentazione
leggermente differente del gruppo in termini della rappresentazione
aggiunta.
Ovvero S' = D S D^-1. Il vantaggio di questa rappresentazione � che una fase
comune
a tutti gli elementi per definizione non compare nella matrice S. Quindi
questa
rappresentazione � genuinamente proiettiva, nello spirito della meccanica
quantistica.
A prescindere da questa sottigliezza su cui mi piacerebbe avere
delucidazioni
la sostanza dell'idea di Cartan � che la metrica determina i coefficienti di
struttura dell'algebra di Lie e questa con i coefficienti determina per
inviluppo
le trasformazioni spinoriali. Avendo questo punto di vista presente diventa
semplice immaginare come procedere per le trasformazioni spinoriali
in una variet� qualsiasi. Come dice Cartan non occorre fare altro che
prendere il bivettore associato al trasporto, interpretarlo come
trasformazione
infinitesima e costruire per inviluppo la trasformazione spinoriale
associata.
Cosa c'� di nuovo rispetto alla geometria Riemanniana? La matrice di
trasformazione. Tuttavia c'� un'altra novit� di rilievo si scopre cio� che
come la conoscenza del vettore non individua lo spinore, cos� la conoscenza
della connessione affine non individua la connessione di spin. Esiste
cio� un'arbitrariet� di cui la geometria differenziale einsteniana non fa
uso: si tratta cio� della torsione. Einstein pone nulli, sulla base di un
argomento geometrico valido per i vettore questi coefficienti. Lo stesso
argomento non � affatto immediato per gli spinori. E' in questo tema che
torna di una certa importanza, in linea di principio, se non ancora
praticamente la questione della fase. Infatti la presenza di una torsione
risulta
associata alla presenza di cariche centrali nella rappresentazione del
gruppo,
le cariche centrali sono postulate assenti quando si costruisce l'inviluppo
dell'algebra di SU(2), ma se non fossero zero avrebbero effetti osservabili
in variet� curve. Da un punto di vista pratico risulta molto difficile in
questo
contesto vedere degli effetti di carica centrale dovuti alla curvatura. Ma
non
� lo stesso ad esempio in un mezzo continuo, dove usare la struttura dei
quaternioni come generatori della connessione anzich� la struttura delle
matrici di pauli (ovvero aggiungere l'identit� ai generatori per tener conto
della fase) equivale a tenere presente la possibilit� che il momento
angolare
globale di una regione di fluido perda potenza in favore dell'eccitazione
dei
momenti di spin. La conoscenza delle cariche centrali ha una certa
importanza
fenomenologica e rispecchia importanti meccanismi microscopici che regolano
l'emergenza di una teoria di campo medio.
Spero di non avere aggiunto le mie difficolt� alle tue ma di avere dato uno
spunto
di approfondimento. Al tempo stesso ponendo sul desk i miei dubbi spero di
dar luogo ad una discussione che possa giovare ad entrambi.
> Grazie e saluti.
>
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Received on Tue Aug 29 2006 - 21:00:05 CEST