trasformazioni di simmetria dei campi

From: argo <brandobellazzini_at_supereva.it>
Date: 28 Aug 2006 03:26:03 -0700

Sto ripassando la teoria (quantistica) dei campi e mi trovo invischiato
nella questione iniziale delle trasformazioni di simmetria. Credo che
la confusione nasca dal mescolare le trasformazioni attive e passive.
Il mio problema nasce quando voglio considerare la legge di
trasformazione dei campi e piu' in generale di operatori.
Piu' precisamente, il mio dubbio si articola in due passi:

1) Trasformazioni che non coinvolgono lo spaziotempo
x-->x'=x,
v-->v'=Uv (con v vettore dello spazio di HIlbert H).

2) Trasformazioni che coinvolgono lo spaziotempo
x-->x'=g(x),
v-->v'=Uv.

Per trasformazioni del tipo 1) mi chiedo come si trasformino gli
operatori in H. Risponderei
che O-->O'=UOU^(-1) cosi' che O'Uv=UOv (cioe' che l'applicazione di O'
sul vettore trasformato sia uguale al trasformato dell'applicazione di
O su v). In particolare seguirebbe che se v e' autovettore di O allora
Uv e' autovettore di Uv allo stesso autovalore.
La cosa che non mi quadra e' che per l'evoluzione temporale U(t) nello
schema di Heisenberg si procede diversamente: O'=O(t)=[U(t)]^(-1)OU(t),
ovvero si scambia U<-->U^(-1) rispetto a quanto ho scritto sopra.
Inoltre in alcuni testi trovo la definizione di operatore trasformato
O'=U^(-1)OU in modo che gli elementi di matrice di O' rispetto alla
base {v_i} di H siano gli stessi di quelli di O rispetto alla base
trasformata {Uv_i}.
Quale e' il motivo di queste scelte piuttosto di quella che ho indicato
sopra? E' forse dovuto all'interpretazione trasformazione
attiva-passiva?
Direi che e' cosi' (perche' per l'evoluzione temporale si tiene lo
stato invariato e si trasformano le osservabili, e per trasformazioni U
generiche si parla di cambiamento della base e non del vettore) pero'
vorrei maggiore chiarezza.

Venendo alle trasformazioni del tipo 2)
 x-->x'=g(x),
v-->v'=Uv.
le cose si complicano. Intanto ora che si deve trasformare anche lo
spaziotempo gia' non si capisce se si trasformano le coordinate di un
punto P dello spazio tempo (trasformata passiva) oppure il punto stesso
(trasformata attiva).
Su testi e dispense trovo che un campo O(x) si trasforma cosi'

a) O(x)-->O'(x)=U^(-1)O(x)U= S(g)O(g^(-1)x)
(con S(g) matrice di una rappresentazione del gruppo G cui g
appartiene) ovvero che

b) O'(x')=S(g)O(x) o ancora UO(x)U^(-1)=D(g^(-1))O(x').

Queste formule mi sono abbastanza familiari ma al tempo stesso mi
risultano oscure.
Si capisce dalla b) ad esempio che un elemento di matrice di O'(x')
rispetto ad una base {v_i} e' combinazione lineare di elementi di
matrice di O(x) (O(x')_{ij}=S(g)_{ik}O(x)_{kj}), pero' non capisco da
dove esca la scelta di a) piuttosto chesso' di un'ipotetica legge del
tipo O(x)-->O'(x')=U^(-1)O(x)U=S(g)O(g^(-1)x).

Nella legge di trasformazione ci sia S(g) oppure S(g^(-1))=S^(-1)(g) ad
agire sul campo non fa molta differenza perche' naturalmente anche
S^(-1) e' una rappresentazione di G. Tuttavia se O(x) e' un campo
vettoriale la legge che ''funziona'' e' quella con S=dg e non
S=dg^(-1): perche'? Anzi c'e' un motivo specifico per cui scegliamo la
legge di trasformazione a) e non altre?

Grazie e saluti.
Received on Mon Aug 28 2006 - 12:26:03 CEST