Re: geodetiche e vettori di killing

From: argo <brandobellazzini_at_supereva.it>
Date: 18 Aug 2006 16:28:40 -0700

Elio Fabri wrote:
> argo ha scritto:
> > ...
> > In generale quindi u(p') =/= \mu_*(u(p)).
> Non direi, anzi per costruzione sono uguali (vedi l'esempio).

Forse mi sono perso: u(p') non e' forse il vettore in Tp' ottenuto per
trasporto parallelo di u(p) da p a p' lungo la gedotica per p con
condizione iniziale u(p)? E non si era convenuti che in generale \mu_*
era diverso dal trasporto parallelo? Intendi forse che \mu_* ristretto
a u(p) coincide con il suo trasporto parallelo?

> Quello che segue lo debbo ancora decifrare...

Provo a riformulare la domanda.
Se \mu (generato come hai descritto da u(p) in p attraverso il
trasporto parallelo) e' un'isometria anche il differenziale \mu_*
conserva i prodotti scalari cosi' come il trasporto parallelo: in
questo caso speciale \mu_* e trasporto parallelo coincidono?

> > Purtroppo non mi risulta cosi' semplice, potresti illustrarmelo
> > meglio?

> Facciamo un caso banalissimo: prendo S (come avevo detto) coincidente
> con l'asse x.
> Poi scelgo un punto sull'asse t, a coord. negativa: (0,t1) con t1<0.
> Poi considero le rette (geodetiche di tipo tempo) per (0,t1), che
> hanno equazione
> x = k(t-t1) (|k|<1)
> e intersecano l'asse x in x(k) = -k t1.
> Nel punto p=(x(k),0) prendo u coincidente col vettore tangente a quella
> retta: quindi le componenti di u(k) sono
> (km, m) dove m = 1/sqrt(1-k^2).
>
> Scelgo tau a piacere e definisco p' = (x(k)+k*m*tau, m*tau).
> Il luogo di p' e' S', la cui equazione e'
>
> x^2 t^2 = (t^2 - tau^2)(t - t1)^2 (salvo errori).
>
> E' ovvio che il vettore tangente a S' in p' (lo chiamo v') non e'
> parallelo all'asse x, mentre u(p') = u(p).
> Ma v' = \mu_* v, essendo v il vettore tangente all'asse x: quindi vedi
> che \mu_* non conserva i prodotti scalari.
>
> (Una figura avrebbe chiarito meglio...)

E' chiaro anche senza figura pero' ho ancora qualche domanda:

a) il vettore v e' tangente ad S ma siamo sicuri che v'=\mu_* v sia
tangente ad S',evoluzione geodetica di S con condizione iniziale u(k)?

b)questa e' la stessa domanda dell'inizio del post: u(k') non e'
diverso da \mu_*u(k)? Se si', perche si confronta u(k') (e non
\mu_*u(k)) con v'=\mu_* v per far vedere che \mu_* non conserva i
prodotti scalari?
(Tuttavia in questo esempio specifico che hai fatto lo spazio e' piatto
e il trasporto parallelo di u(k) potrebbe coincidere con l'applicazione
di \mu_* essendo la connessione banale).

Grazie per le risposte cosi' dettagliate.
Saluti.
Received on Sat Aug 19 2006 - 01:28:40 CEST