argo ha scritto:
> Una particella massiva si muove in uno spaziotempo curvo secondo
> l'equazione delle geodetiche.
> Se lo spazio e' metricamente compatibile l'evoluzione temporale non
> cambia i prodotti scalari lungo la traiettoria.
Fin qui OK.
> Direi quindi che esiste una isometria (anzi una classe di isometrie
> che dipende dal campo vettoriale che do come condizione iniziale per
> la velocita') che non e' altro che il flusso di evoluzione temporale
> sullo spaziotempo.
Qui ci siamo meno, nel senso che bisogna chiarire che cos'e' il
"flusso di evoluzione temporale".
Infatti per ogni punto passano infinite geodetiche...
> In tal caso non dovrebbe esistere anche un campo di Killing? Questo
> campo di Killing non e' proprio il campo vettoriale che do come
> condizione iniziale dell'voluzione?
Ecco: occorre precisare questo discorso della "condizione iniziale".
Si puo' fare cosi'.
Scegli un'ipersuperficie S di tipo spazio.
Su S definisci in modo arbitrario (ma regolare) un campo di vettori u
di tipo tempo.
Per ogni punto p di S, e col corrispondente u(p) come vttore tagnete,
e' individuata una geodetica (di tipo tempo).
Puoi usare queste geodetiche per estendere la definizione di u a tutto
lo spazio tempo, o almeno a un intorno A di S.
Se ora tau e' un reale positivo non troppo grande, s puo' definire in
A (o meglio in un intorno A' contenuto in A) una mappa \mu come segue:
\mu \manda p di A' in p' che sta sulla stessa goedetica, con tempo
proprio aumentato di tau.
> Cioe' e' sempre vero che l'evoluzione temporale e' il flusso di un
> vettore di Killig?
Il problema e' che in generale \mu come l'ho definita *non e'*
un'isometria.
Il suo differenziale \mu_* applica Tp (spazio tangente in p) su Tp',
ma non conserva i prodotti scalari.
Infatti \mu non coincide in genere col trasporto parallelo.
Lo puoi verificare con un controesempio, che si puo' prednere
semplicissimo: basta uno spazio(x,t) di Minkowski (piatto).
Come S prendi l'asse x, il camo u sceglilo in modo semplice, puirche'
non consista di tutti vettori paralleli.
Ora guarda come e' fatta S_tau, immagine di S mediante \mu: vedrai che
non e' affatto una retta parallela all'asse x, ma una curva; e questo
basta per capire che i prodotti scalari non si conservano.
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Elio Fabri
Received on Fri Aug 11 2006 - 21:04:05 CEST