Re: potenziale -dubbio

From: gicidi <gicidi_at_yahoo.com>
Date: Sun, 06 Aug 2006 21:33:24 +0200

Sere wrote:

> Ciao, vi chiedo un aiuto sulla seguente affermazione che fa il mio
> libro:
>
> Presa l'origine delle coordinate nel centro di un cilindro conduttore
> cavo carico di altezza finita e l'asse z coincidente con l'asse del
> cilindro allora in un intorno dell'origine (se lambda è un
> coefficiente opportuno diverso da zero) il potenziale elettrico non
> può essere rappresentato dalla funzione
>
> phi(\vec r) = \phi(0) + \lambda |z|
>
> infatti esso non soddisfa l'equazione di Laplace Laplaciano\phi=0.
>
> Ecco, secondo me questa è una giustificazione sbagliata, in quanto
> risulta Laplaciano\phi=0 !
>
> Cosa ne pensate?
>
> Ciao e grazie, Serenella.

Immagino che tu consideri nullo il Laplaciano per il fatto che sia in z>0
che z<0 la funzione e' lineare nelle coordinate. Ma quello che succede in
z=0 non puo' essere trascurato.
Allora: il Laplaciano e' un operatore differenziale del secondo ordine. Dato
che nel tuo caso phi dipende solo da z esso si riduce proprio alla derivata
seconda in z. Devi quindi chiederti che senso abbia la derivata seconda di
|z|, che non e' una funzione derivabile.

Si puo' dare significato a tutto questo, ma si deve introdurre il concetto
di distribuzione. Provo a darti uno spunto non rigoroso, ma che forse ti
mettera' sulla strada per apprezzare il problema.

Saprai che il potenziale generato da una carica puntiforme (nell'origine) e`
proporzionale a 1/r. Ti puoi chiedere: il suo Laplaciano e' nullo? Provando
a calcolarlo, puoi verificare che lo e' per r>0. D'altra parte saprai anche
che il laplaciano di un potenziale e' proporzionale alla densita` di
carica, quindi dove sono presenti delle cariche non ti aspetti che sia
zero. Nel potenziale deve rimanere traccia della carica puntiforme
presente, e ne puoi dedurre che (similmente al caso da te proposto) quello
che accade in r=0 e' importante.

Questo ti dovrebbe far intuire che il problema e' legato a come dare senso a
concetti quali la densita' di carica di una carica puntiforme. Esiste una
funzione che possa assumere questo ruolo?

Puoi provare ad affrontare il problema sostituendo una carica puntiforme con
un oggetto piu' semplice da trattare. Ad esempio puoi distribuire
uniformemente la carica in una sferetta di raggio epsilon. Se calcoli il
potenziale troverai q/r per r>epsilon e una funzione quadratica per
r<epsilon. Puoi verificare che derivate prime e seconde di questa funzione
esistono ovunque, quindi non hai problemi a calcolare il Laplaciano. Che
sara' ovviamente nullo per r>epsilon e proporzionale alla densita' di
carica q/epsilon per r<epsilon. Puoi immaginare che il concetto di carica
puntiforme si ottenga nel limite epsilon->0. Ma in tale limite la densita'
di carica tende a zero per r>0 e a infinito per r=0, quindi non converge ad
una funzione.

Dato che il concetto di carica puntiforme (e tanti altri simili, ad esempio
quello di carica di superficie) e' tutt'altro che inutile :) sarebbe bello
poter dare un senso matematico preciso al limite precedente. E' quello che
si fa con la teoria delle distribuzioni Ma qui mi fermo, dandoti un ultimo
suggerimento: prova a trovare f(epsilon,z) derivabile due volte, tale che
lim(epsilon->0) f(epsilon,z) = |z|, calcolane la derivata seconda (il
Laplaciano) e verifica cosa succede a quest'ultima nello stesso limite.













 
Received on Sun Aug 06 2006 - 21:33:24 CEST