Re: Grandezze fisiche e matrici

From: Mino Saccone <mino.saccone_at_fastwebnet.it>
Date: Sat, 29 Jul 2006 11:32:45 +0200

"Dario Russo" <dariohp2000_at_yahoo.it> ha scritto nel messaggio
news:43d96f3c9e89cffb9efdafec97590d89_53207_at_mygate.mailgate.org...
> Una grandezza fisica � rappresentata da una matrice......
> Mipotreste dire cosa significa ?

Da ingegnere rispondo con l'esempio piu' classico: il tensore degli sforzi
in un materiale.

Lo stato di sforzo in un materiale non puo' essere sufficientemente
rappresentato da una forza per unita' di superficie.

Se noi pratichiamo una ideale fenditura infinitesima in un punto del corpo e
misuriamo (sempre idealmente) le forze infinitesime (ovviamente uguali e
contrarie tra loro per ill terzo principio) che i due lembi si scambiano,
scopriamo che, senza variare il punto di misura, ma solo variando
l'orientazione del taglio, la coppia di forze varia.

Si dimostra facilmente, con le leggi dell'equilibrio, che basta praticare
tre tagli diversi tra loro e misurare le tre coppie di forze per risalire
con facili calcoli alla coppia di forze di qualsiasi altro orientamento del
taglio nello stesso punto.

In altre parole una terna di forze (per unita' di superficie) e' sufficiente
a descrivere lo stato di sforzo in un punto di un corpo e di solito si
sceglie per comodita' una terna di forze scambiate attraverso tre tagli fra
loro ortogonali.

Ora, una forza ha tre componenti, quindi tre forze possono essere
rappresentate da una matrice quadrata 3x3. Si dimostra inoltre, sempre con
le leggi dell'equilibrio, che la matrice che rappresenta il tensore degli
sforzi e' simmetrica.

Sempre per restare in tema ingegneresco, la deformazione di un punto di un
corpo e' rappresentabile con un tensore simmetrico a sua volta
rappresentabile con una matrice 3x3.

Il comportamento elastico di un corpo, quindi la relazione tra tensore degli
sforzi e tensore di deformazione, pur ammettendo la linearita' della legge
di Hooke, viene ad esse quindi un tensore quadruplo 3x3x3x3 quindi a 81
componenti che, data la simmetria dei tensori a cui si applica e se il
materiale e' omogeneo e isotropo, si riducono, per fortuna, ai due parametri
elastici classici: il modulo di Young e quello di Poisson

Saluti

Mino Saccone
Received on Sat Jul 29 2006 - 11:32:45 CEST