Re: moto armonico

From: gicidi <gicidi_at_yahoo.com>
Date: Sat, 22 Jul 2006 00:32:03 +0200

Edmond wrote:

> Salve a tutti
> Ho trovato questa eq. diff. sul moto armonico.
>
> d^2x/dt^2 + 2y*dx/dt + q^2*x = 0
>
> e non comprendo da dove derivino le soluzioni che dà il libro:
>
> - se y^2 = q^2, allora:
>
> x(t) = e^(-xt) * (At +B)
>
>
> - se y^2 > q^2, allora:
>
> x(t) = A*e^(l_1*t) + B*e^(l_2*t) = e^(-yt) * [A*e^(t*sqrt(y^2-q^2)) +
> B*e^(-t*sqrt(y^2-q^2))]
>
> Grazie

E' un'equazione lineare a coefficienti costanti. Per risolverla puoi usare
il metodo standard seguente:

- cerca soluzioni del tipo e^(l*t) sostituendo
- ottieni un'equazione di secondo grado per l, l^2+2*y*l+q^2=0
- le soluzioni sono i valori l_1 e l_2 che tu usi. Se y^2>q^2 sono distinti
e quindi hai una soluzione generale data dalla combinazione lineare delle
due soluzioni indipendenti e^(l_1*t), e^(l_2*t)
- se y^2 = q^2 l_1 e l_2 (l_1=l_2=-y) coincidono, quindi hai trovato una
sola soluzione indipendente , mentre te ne servono due (l'equazione e' del
secondo ordine). Puoi arrivare alla soluzione in molti modi. Dato che
conosci una soluzione un metodo e' cercare la seconda nella forma
x(t) = u(t) v(t) (u=e^(l*t)). Se provi a sostituire trovi che deve essere
d^2 v/dt^2 = 0 e quindi v = A t + B.
B e^(l*t) lo conoscevi gia', A*t*e^(l*t) e' una nuova soluzione
indipendente.

Un modo interessante di arrivare allo stesso risultato e' costruire due
soluzioni che restano sensate e indipendenti nel limite y^2 -> q^2.
Ad esempio
x1(t) = e^(l_1*t) -> e^(-y*t)
x2(t) = (e^(l_1*t)-e^(l_2*t))/sqrt(y^2-q^2) -> t*e^(-y*t)

Ciao.
Received on Sat Jul 22 2006 - 00:32:03 CEST