"Elio Fabri" <fabri_at_df.unipi.it> wrote in message
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> Qualcuno ha suggerimenti su come risolvere la seguente eq. integrale?
>
> f(x) = \int_{-a}^a dy g(y) \sqrt{f(x) + (x-y)^2}
>
> (l'incognita e' g.)
>
> Su f(x) si sa questo:]
> - e' continua su tutto R
> - e' nulla per |x|>a
> - e' positiva e C-infinito per |x|<a.
E' lineare, quella a destra somiglia ad una convoluzione
ma non lo �. Se non ricordo male proprio questo genere di
equazioni e la loro problematica risolutiva � trattato sul
libro di Smirnov relativo alle equazioni integro-differenziali.
La classe � quella delle equazioni di Fredholm (Volterra?) di
primo tipo se non vado errato. Da un punto di vista molto
ingenuo l'equazione � del tutto simile ad una equazione
matriciale K(y) x = y dove K � una matrice, mentre x ed y
sono vettori. Questo potrebbe suggerire una tattica di
ricerca di soluzioni lisce ammesso che ne esistano, basata sulla
discretizzazione. Discretizzando il problema diventa quello di
invertire la matrice. Questo fa pensare che la soluzione potrebbe
esistere se la matrice � invertibile, oppure no se la matrice non
� invertibile. Tuttavia come mostro fra un attimo la semplice
richiesta di continuit� su g(y) appare essere
una condizione molto forte se guardata da un altro punto
di vista, ma forse non troppo forte da impedire l'esistenza
di una soluzione.
Prima di passare ad illustrare questo punto facciamo
un'osservazione che contiene una domanda:
L'impostazione in termini di matrici
in particolare mi ha suggerito
di prestare attenzione particolare alla condizione:
0 = \int_{-a}^a dy g(y) \sqrt{(x-y)^2}
vera per ogni x (a meno che l'identit� non
sia da intendere solo per gli x nell'intervallo
(-a,a)). Che si traduce:
0 = \int_{-a}^a dy g(y)|x-y|
In particolare se x>a questa equazione
diventa 0 = \int_{-a}^a dy g(y)(x-y)
che ammette una classe infinita di soluzioni:
in particolare tutte le g(y) pari il cui
integrale � nullo. Questo non deve stupire: �
come se stessimo considerando le prime righe
di un sistema lineare e stessimo trovando che
il sistema associato non � invertibile, in modo
che l'equazione omogenea ammette infinite soluzioni.
La domanda tuttavia �: il dominio di validit�
dell'equazione non ha restrizioni su x?
Se fosse il caso di restringere il vincolo ai valori di
x in (-a,a) la tattica che avrei pensato �:
vediamo se esiste una soluzione di classe
continua per g(y). In tal caso esister�
una serie di Fourier che converge uniformentente
a g(y). E siccome f(x) � continua anche una
serie che converge uniformemente a K(x,y)
In questo caso il sistema si
traduce in Sum_n,m g(n)K_(n,m)= f_m
Per il teorema di Fourier.
Quindi restringendo il dominio
di verificazione del vincolo, il sistema forse
ammette soluzione e per verificar se � vero dovrebbe
esser sufficiente il teorema di
Fourier.
Per la funzione K(x,y) della forma
data tuttavia, se non esistono restrizioni al dominio
della x, quello che va elaborato per applicare questo
metodo � una generalizzazione del teorema di Fourier.
Ad esempio trovando una base di funzioni
della forma |x|h_n(x).
Oppure, meglio \sqrt(K^2 + x^2) h_n(x).
Ma � possibile costruire un tale sistema
completo? Se la funzione fosse stata decrescente
avrei pensato di passare per il teorema di Liouville,
ma in questo caso invece mi trovo un poco disarmato.
Una via alternativa pensata, sempre per il
caso senza restrizioni su x, ma con ipotesi pi� forti
su f(x) �: se esiste uno
sviluppo in serie di potenze di K(x,y) ed una
serie di potenze di f(x) il
problema diventa:
f(x) = Sum_n f_n x^n =
\int_{-a}^a dy g(y) \sqrt{f(x) + (x-y)^2}=
=\int_{-a}^a dy g(y)Sum_(m,n) K_(m,n) x^n y^m =
Ovvero f_m = Sum_(n,m) K_m,n \int_{-a}^a dy g(y) y^m
In tal caso se K_mn � invertibile abbiamo ricondotto
il problema a quello di trovare una funzione g dati
i suoi momenti. Questo � un problema classico discusso
in letteratura. Si chiama problema di Hamburger.
Ma gi� il problema di invertire una matrice infinita
non � semplice. Occorrerebbe una teoria generale
per questo genere di problematiche. Ma a scuola
non ce la insegnano. Io in questi casi tendo a
cavarmela per casi specifici.
Magari per� esiste un modo pi� semplice di entrambi
gli approcci che ho suggerito e che al momento non
metto a fuoco.
(da tener presente che nella soluzione del problema di
Hamburger non escludo che si ricorra a tecniche come quella
che ho immaginato poco sopra) Mi sembrerebbe strano,
ad esempio, che Volterra non avesse pensato alle equazioni
che portano anche il suo nome :-)
> Thx
> ------------------------------
> Elio Fabri
> c/o Dip. di Fisica - Univ. di Pisa
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Received on Fri Jul 07 2006 - 20:23:56 CEST