"Aleph" <no_spam_at_no_spam.com> wrote in message
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> Tetis ha scritto:
> > La classe � quella delle equazioni di Fredholm (Volterra?) di
> > primo tipo se non vado errato.
> ...
>
> Sembrerebbe simile a un'equazione di Fredholm del primo tipo, anche se in
> genere il nucleo K(x,y) � una funzione esplicita e non dipende, come in
> questo caso, dal termine noto in forma implicita f(x).
> Ho provato a cercare ma di equazioni di questo tipo, sebbene assolutamente
> lecite, non ne ho trovate da nessuna parte.
Ma da un punto di vista logico il fatto che il Kernel sia
una funzione della funzione obiettivo non implica null'altro:
puoi considerare f(x) come una funzione assegnata
e questo determina il nucleo K(x,y). Nel complesso si tratta
sempre di un'equazione di Fredholm di primo tipo. Se si
disponesse di un metodo generale di soluzione, con K ed f
continue, per queste equazioni si risolverebbero anche
tutti i casi particolari richiesti da Fabri.
> > In particolare se x>a questa equazione
> > diventa 0 = int_{-a}^a dy g(y)(x-y) (*)
> > che ammette una classe infinita di soluzioni:
> > in particolare tutte le g(y) pari il cui
> > integrale � nullo.
> ...
>
> No, la soluzione di sopra, per x > a o x < -a ammette come soluzione
> unicamente la soluzione banale g(y) = 0, come si vede immediatamente
> sviluppando l'integrando della (*) nei due termini componeneti.
E' per l'appunto sviluppando come dici che trovi due
condizioni sufficienti perche' valga (*):
int_{-a}^a g(y)x dy = 0
int_{-a}^a g(y)y dy = 0
identicamente verificate se g e' una funzione
pari, con integrale nullo. Ad ogni modo la topologia
del problema posto da Fabri e' quella di una circonferenza
trigonometrica, quindi l'equazione va risolta sul solo
supporto (-a,a). Ma questo Fabri non l'aveva scritto nel
testo, e per questo avevo accluso una domanda alla mia
prima risposta. Allora
facciamo un esempio: risolvere
f = Int_{-a}^{a} g(y') \sqrt(f^2 + (y-y')^2) dy'
dove f(y) e' quindi costante in (-a,a). Cercando
fra le funzioni analitiche si trova subito
che il vincolo sembra troppo forte. Infatti si arriva
ad un vincolo di questo tipo:
f = Sum_n y_n M(f,y,n)
qui M(f,y,n) sono funzioni assegnate per ogni n. y_n
sono le incognite.
Questa condizione evidentemente implica una infinita'
non numerabile di vincoli su una quantita' numerabile
di vincoli, quindi a meno di ridondanze non ammette
soluzione. Analogamente cercando la soluzione per serie
di Fourier uniformemente convergenti. Anche ammettendo
le distribuzioni non mi sembra che si vedano soluzioni
immediate per questa equazioni. Soluzioni immediate si
hanno per le equazioni:
\sqrt(f^2+y^2) = Int_{-a}^{a} g(y') \sqrt(f^2 + (y-y')^2) dy'
g(y') = delta(y')
e per
y/(\sqrt(f^2+y^2)) = Int_{-a}^{a} g(y') \sqrt(f^2 + (y-y')^2) dy'
g(y') = delta'(y')
Mentre l'equazione:
f = Int_{-a}^{a} g(y') \sqrt(f^2 + (y-y')^2) dy'
?????
> Saluti,
> Aleph
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Received on Wed Jul 12 2006 - 16:50:41 CEST