argo ha scritto:
> Non la conosco, potresti dirmi di piu'?
Eh, non e' mica semplice, qui nel NG...
Purtroppo non sono aggiornato sui testi, quindi non so quale testo
consigliarti. Mi aspetterei che il solito Sakurai (AQM) ne parli, ma
non sono sicuro.
Detto molto in breve, si tratta di mettere d'accordo l'approccio che
ha proposto Valter con quello standard che si trova quasi ovunque,
e che e' anche quello di Dirac.
Il problema e' che nell'approccio standard alcune osservabili (per es.
la posizione e lo spin) non sono le "vere" osservabili di posizione e
spin per una particella relativistica.
Nel caso dello spin, te lo mostra il problema della conservazione: lo
spin "vero" si deve conservare, mentre nella teoria di Dirac "sigma"
non si conserva.
Analogamente: se calcoli la derivata rispoetto al tempo della
posizione nella teoria di Dirac trovi semplicemente alpha, il che
suona paradossale, perche' le matrici alpha hanno autovalori +1 e -1,
il che sembrerebbe indicare che la velocita' della particella possa
essere solo +c oppure -c...
Soluzione: lo spin e la posizione di Dirac non sono le "vere"
osservabili spin e posizione, mentre nell'approccio alla Newton-Wigner
(quello di Valter) invece lo sono.
Occorre allora trovare le espressioni delle osservabili "vere" nella
teoria di Dirac, e si dimostra che lo si fa con una trasf. unitaria
(appunto la trasf. F_W):
F = (H + beta*E) / sqrt(2*E*(E+m))
(se ricordo bene).
Si dimostra che F^2 = I, e quindi la stessa F fa la trasf. in entrambi
i versi.
Di piu' non dico, anche perche' non so se quanto ho detto e' riuscito
minimamente comprensibile...
Storicamente, la prima trattazione del problema credo sia un lavoro di
Foldy (mi pare del 1952 in Phys. Rev). Il titolo dovrebbe essere
"Synthesis of Covariant Particle Equations".
> Per verificare le affermazioni di cui sopra ho preso l'hamiltoniana
> H=gamma^0(somma_i gamma^i.p^i -m)
> che viene prendendo l'equazione di Dirac per lo spinore psi(x) e
> scrivendola in forma di evoluzione temporale alla schroedinger.
Non ho capito il discorso dell'evoluzione temporale.
Se vuoi sapere se A e' costante del moto, devi solo vedere se commuta
con H.
> Questo pero' mi fa nascere la domanda seguente: come dovrei procedere
> se volessi verificare la legge di conservazione del momento angolare
> in teoria dei campi dove psi(x) e' un operatore e l'hamiltoniana e'
> quella nota di Dirac?
Puoi seguire diverse strade, a seconda di come parti e dell'approccio
che preferisci.
Il migliore, in quanto ha validita' generale per qualsiasi teoria di
campo lagrangiana, e' di ricavare da L (densita' lagrangiana) il
tensore energia-impulso T_{\mu\nu} del campo. Questo si fa in modo
standard e lo trovi su qualunque libro.
Da T_{\mu\nu} si ricava il tensore momento angolare (relativistico),
che forse non ha un simbolo standard, ma a volte e' indicato con
H_{\mu\nu\rho}.
Mostri che ha divergenza nulla (come conseguenza delle eq. di campo)
ed e' fatta.
Valter Moretti ha scritto:
> Un momento argo. Lo spin si conserva!
> Io mi riferisco qui allo spin degli elettroni relativistici
> descritti in prima quantizzazione.
> Lo spazio di prima quantizzazione � un prodotto tensoriale
> L^2(R^3) x C^2
D'accordo fin qui.
> (trascuro lo spazio C^2 di carica che produce i bispinori di Dirac e
> permette di introdurre l'inversione di parit�).
Qui invece non sono d'accordo: la parita' non c'entra.
Infatti puoi benissimo introdurla anche restando in L^2(R^3) x C^2.
Il motivo per raddoppiare la rappresentazione e' un altro (circa 40
anni fa ci ho lavorato parecchio, e purtroppo senza pubblicare
niente...)
E' che se non raddoppi la rappr. del gruppo di Poincare' e' "non
locale".
Con questo intendo che i generatori (specificamente quelli delle
trasl. temporali e boosts) non si esprimono mediante polinomi in
posizione e impulso, o in altre parole con moltiplicazione per le
coordinate e un numero finito di derivate.
Sono invece operatori integrali a causa della radice quadrata che
compare gia' in H, e poi in altri posti.
Invece il raddoppiamento porta alla forma locale, sia per H (eq. di
Dirac) sia per le trasf. di Lorentz (boosts).
> Il punto �, come si scrivono gli operatori di spin in seconda
> quantizzazione?
Percio' direi che la seconda quantizzazione non c'entra.
Si potrebbe obiettare: da dove piove il requisito di localita'?
Risposta: dal fatto che quando vai a introdurre l'interazione e.m.,
solo se lo fai sulla forma locale di Dirac ottieni accordo coi fatti
sperimentali.
--
Elio Fabri
Received on Tue Jul 04 2006 - 20:38:19 CEST