Re: Meccanica quantistica

From: argo <brandobellazzini_at_supereva.it>
Date: 29 Jun 2006 01:48:20 -0700

Tetis wrote:
> Cominciamo con il caso classico.
> le equazioni di Hamilton per l'oscillatore armonico sono
> p' = - k q
> q' = p/m
> se aggiungiamo alla funzione di Hamilton un termine
> H(q,p,t)=p2/(2m)+(1/2w2)q2+eE(t)q
> anche le equazioni di Hamilton cambiano. In particolare
> per� la relazione fra impulso e derivata di q non cambia.
> Le nuove equazioni di Hamilton diventano queste:
> p' = - k q-eE(t)
> q' = p/m
> un modo di definire una trasformazione canonica � di
> dire che non altera le equazioni di Hamilton. Ma in
> vero questa � una definizione restrittiva nella meccanica
> classica. Questa definizione restrittiva basta per escludere
> l'argomento di argo. intatti la nuova variabile canonica che
> lui introduce non pu� avere la stessa relazione con la nuova
> variabile impulso.

Io conosco la definizione di trasformazione canonica che lascia
invariate non le equazioni del moto ma le regole di commutazione
canonica (e cosi' a pelle direi che una relazione algebrica e' piu'
generale di una dinamica).

Comunque anche se la trasformazione unitaria U(t)=exp(ieE(t)p/w^2) che
effettuo non fosse una trasformazione canonica secondo un'altra
definizione, i passaggi mi sembrano invero corretti, in particolare che
l'hamiltoniana si puo' riscrivere H(q,p,t)=U(t) H_0(q,p)
U^(-1)(t)-e^2/(2w^2)E^2(t) che allora si risolve il problema agli
autovalori per H(q,p,t) e dunque l'evoluzione temporale...

In realta' non e' importante che la trasformazione sia canonica, anzi
se preferisci non effettuo nessuna trasformazione, semplicemente
riscrivo H(q,p,t) in termini di q e p (quelle vecchie, non trasformate)
in maniera che si possa risolvere il problema agli autovalori di

H(q,p,t)=U(t) H_0(q,p) U^(-1)(t)-e^2/(2w^2)E^2(t).

Non sono forse U(t)|n> le autofunzioni dell'Hamiltoniana all'autovalore
E'_n=E_n-e^2/(2w^2)E^2(t)?

E Cosi' l'equazioni di Hamilton sono preservate (non cambio variabile).

Naturalmente nel resto del conto per il calcolo della ampiezza di
probabilita' posso averci messo degli errori (non l'ho piu'
controllato) e il risultato puo' benissimo non essere

A(0->1)=c(t) exp(-iE_0 t) eE(t)/(2w^3)|<0|U(t)|0>|^2{
                 -1+1/[1-(eE(t))^2/(2w^3)exp(-iwt)]}.

Posso aver sommato male la serie, perso dei fattori, chi piu' ne ha
piu' ne metta (magari se ho tempo rifaccio il conto), ma il
procedimento per arrivarcii mi sembra corretto e pulito.

Vi ringrazio sinceramente se qualcuno mi indica dove sbaglio, perche'
e' ragionando su problemi come questi che si impara e si migliorano le
conoscenze.


> D'altra parte per risolvere il problema il formalismo
> hamiltoniano � del tutto irrilevante. Bastano le equazioni
> di Newton. Un modo standard usato dai fisici � ricorrere alla linearit�
> delle
> equazioni ed aggiungere ad una soluzione generale per l'equazione
> omogenea la soluzione per l'equazione non omogenea, che
> � ottenuta da f(\omega) / ( 1 - \omega^2). Dove f � la trasformata
> di Fourier della forza.

Secondo me la via algebrica, in cui lo sforzo di risolvere la dinamica
e' superato osservando che si puo' rincondurre il problema a quello di
uno oscillatore armonico imperturbato che e' gia' risolto, presenta il
vantaggio appunto di sfruttare soluzioni note della dinamica di
un'altra hamiltoniana senza andare a cercarne di nuove. Ma e' questione
di gusti (se non fosse che potrebbero esserci differenze nei nostri
risultati: anzi ti invito a calcolarlo secondo la strada che proponi
cosi' abbiamo un confronto diretto non basato sul metodo ma sul
risultato, cosa che e' sempre bene aver sott'occhio.)

Grazie ancora e saluti.
Received on Thu Jun 29 2006 - 10:48:20 CEST