Il 29 Giu 2006, 10:48, "argo" <brandobellazzini_at_supereva.it> ha scritto:
>
> Io conosco la definizione di trasformazione canonica che lascia
> invariate non le equazioni del moto ma le regole di commutazione
> canonica (e cosi' a pelle direi che una relazione algebrica e' piu'
> generale di una dinamica).
Questa definizione che dici implica che le equazioni di Hamilton sono
invarianti in forma. Quindi e' piu' restrittiva, fino a prova contraria,
della richiesta di invarianza in forma delle equazioni di Hamilton,
nell'ipotesi di non modificare la definizione di tempo. Nel caso
indipendente dal tempo si mostra che le due definizioni sono
equivalenti.
> Comunque anche se la trasformazione unitaria U(t)=exp(ieE(t)p/w^2) che
> effettuo non fosse una trasformazione canonica secondo un'altra
> definizione, i passaggi mi sembrano invero corretti, in particolare che
> l'hamiltoniana si puo' riscrivere H(q,p,t)=U(t) H_0(q,p)
> U^(-1)(t)-e^2/(2w^2)E^2(t) che allora si risolve il problema agli
> autovalori per H(q,p,t) e dunque l'evoluzione temporale...
Mi sembra che confondi la traslazione con l'operatore di
evoluzione temporale.
"Secondo me la via algebrica, in cui lo sforzo di risolvere la dinamica
> e' superato osservando che si puo' rincondurre il problema a quello di
> uno oscillatore armonico imperturbato che e' gia' risolto"
quello che ti orienti a risolvere e' un problema in cui t e' un parametro e
non la variabile tempo. Ovvero
consideri, impropriamente, il t che compare in questa equazione come
un parametro e non come il tempo che entra nelle equazioni di
Schroedinger. E' come se tu andassi a risolvere - i d/dt phi = H(p,q, eta)
phi.
> In realta' non e' importante che la trasformazione sia canonica, anzi
> se preferisci
Se tu preferisci cosi' comunque devi fare attenzione al resto, ovvero
rimedita il tema dell'equazione di Schroedinger nel caso in cui H
non dipende dal tempo e nel caso in cui H dipende dal tempo.
> non effettuo nessuna trasformazione, semplicemente
> riscrivo H(q,p,t) in termini di q e p (quelle vecchie, non trasformate)
> in maniera che si possa risolvere il problema agli autovalori di
>
> H(q,p,t)=U(t) H_0(q,p) U^(-1)(t)-e^2/(2w^2)E^2(t).
>
> Non sono forse U(t)|n> le autofunzioni dell'Hamiltoniana all'autovalore
> E'_n=E_n-e^2/(2w^2)E^2(t)?
In verita' se H dipende dal tempo non ha significato considerare il
problema agli autovalori per l'equazione indipendente dal tempo,
a meno di essere orientati ad argomentazioni di approssimazione
adiabatica, siccome tu stai cercando le soluzioni esatte allora devi
considerare l'equazione di schroedinger nella forma dipendente
dal tempo. Siccome l'hamiltoniana non e' indipendente dal tempo
lo schema di separazione delle variabili non si applica.
> E Cosi' l'equazioni di Hamilton sono preservate (non cambio variabile).
Anche questo vale se passi da un problema indipendente dal tempo
ad un altro problema indipendente dal tempo, come facevo vedere
all'inizio nel caso dell'oscillatore indipendente dal tempo. Mappi il
problema perturbato nel problema imperturbato. Ma questa logica
va bene finche' la mappatura non e' dipendente dal tempo. Il difetto
di commutativita' fra le hamiltoniane a tempi diversi deve allora essere
preso in considerazione se si vogliono connettere gli stati al tempo
zero con gli stati al tempo t.
> Naturalmente nel resto del conto per il calcolo della ampiezza di
> probabilita' posso averci messo degli errori (non l'ho piu'
> controllato) e il risultato puo' benissimo non essere
>
> A(0->1)=c(t) exp(-iE_0 t) eE(t)/(2w^3)|<0|U(t)|0>|^2{
> -1+1/[1-(eE(t))^2/(2w^3)exp(-iwt)]}.
>
> Posso aver sommato male la serie, perso dei fattori, chi piu' ne ha
> piu' ne metta (magari se ho tempo rifaccio il conto), ma il
> procedimento per arrivarcii mi sembra corretto e pulito.
>
> Vi ringrazio sinceramente se qualcuno mi indica dove sbaglio, perche'
> e' ragionando su problemi come questi che si impara e si migliorano le
> conoscenze.
>
Infatti grato a te per la tenacia e l'instancabilita' :-)
> Grazie ancora e saluti.
Grazie, altrettanti.
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Received on Fri Jun 30 2006 - 00:59:08 CEST