Re: Meccanica quantistica

From: Valter Moretti <vmoretti2_at_hotmail.com>
Date: 25 Jun 2006 06:45:04 -0700

argo wrote:

> > E infatti mi sembra che una soluzione esista e sia semplice. Ne riporto
> > i passi e vi ringrazio in anticipo se qualcuno mi corregge: basta
> > notare che l'Hamiltoniana
> > H(q,p,t)=p2/(2m)+(1/2w2)q2+eE(t)q
> > (prodotti scalari sottintesi) puo'essere riscritta come
> > H(q,p,t)=U(t) H_0(q,p) U^(-1)(t)-e2/(2w2)E2(t)
> > dove H_0(q,p) e' l'hamiltoniana dell'oscillatore in assenza di campo
> > esterno e U(t) e' la trasformazione unitaria
> > U(t)=exp(ieE(t)p/w2)
> > che implementa la trasformazione canonica (costante di Planck ridotta
> > la pongo =1)
> >
> > q'=U(t) q U^(-1)(t)=q+e/w2 E(t)
> > p'=U(t) p U^(-1)(t)=p.
> >

Mi pare OK, ma non ho controllato i conti (i segni) per bene.

> > Detto questo si risolve facilmente il problema agli autovalori
> >
> > H(q,p,t)|n'>=E_n'|n'>
> >
> > infatti un insieme completo di autovettori dell'Hamiltoniana sono i
> > vettori
> >
> > |n'>=U(t)|n>

OK
> > agli autovalori E_n'=E_n-e2/(2w2) E2(t)
> >

e no!!!
  Gli autovalori rimangono gli stessi sotto una trasformazione unitaria!
E' ovvio che
     H(q,p,t) |n,t> = E_n |n,t>
dove
     |n,t>=U(t)|n>
nota che ho messo il tempo t, perch� gli autovettori sono diversi a
tempi diversi...

> > dove |n> sono gli autovettori dell'oscillatore armonico all'autovalore
> > E_n.

OK

> > Ci interessa calcolare l'ampiezza di transizione A(0->1) tra il
> > fondamentale dell'oscillatore |0> ed uno dei primi eccitati (che
> > chiamiamo |1>) tra l'istante 0 e l'istante T che poi mandiamo
> > all'infinito.
> > Inseriamo quindi la completezza degli stati |n'> nell'espressione di
> > A(0->1) e mandiamo il tempo della transizione all'infinito cosi' che
> > resta solo un contributo (|0> e' non degenere) della somma: di questo
> > prendendo il modulo quadro otteniamo la probabilita' di transizione
> >
> > P(0->1)=|A(0->1)|^2=|<1|0'><0'|0>|^2==|<1|U(t)|0><0|U^(-1)(t)|0>|^2.
> >
> > Questa dovrebbe essere la soluzione se non ho fatto errori. Se uno
> > vuole puo' passare nella rappresentazione delle coordinate (o degli
> > impulsi mi sembra meglio) per ottenere un risultato esplicito nelle
> > variabili (ricordo che U(t) in rappresentazione delle coordinate trasla
> > la funzione d'onda di e/w2 E(t)).
> >

...Non capisco bene la logica di quello che stai facendo.
Volendo usare la tua strada la procedura, secondo me, sarebbe
la seguente.
L'hamiltoniano completo dipende dal tempo, per cui l'evolutore
non sar� un gruppo ad un parametro, ma sar� una classe di operatori
unitari del tipo V(t,t_0), con V(t,t')V(t',t_0) = V(t,t_0) e V(t,t)=I.
che soddisfano l'equazione di Schroedinger

-i H(q,p,t)V(t,t_0) = d/dt V(t,t_0)

Quello che devi calcolare �
                                     < f |V(t,0)| g > per t ->
+oo

Definiamo la nuova base hilbertiana, ad ogni t, data dai vettori:

|n,t>' := e^{-i tE_n} |n,t>

allora, per costruzione

-i H(p,q,t) |n,t> '= d/dt |n,t>'

pertanto puoi concludere che

V(t,0) |n,0>' = |n,t>'

e quindi

'<m,t|V(t,0) |n,0>' = delta_mn
da questo risultato hai subito che

< f |V(t,0)| g > = somma su m e n di

<f|n,t>' '<n,t|V(t,0)|m,0>' '<m,0|g>

si riduce a

        somma su n <f|n,t>' '<n,0|g>

ossia,

< f |V(t,0)| g > = somma su n <f|n,t><n,0|g> e^{-i tE_n}

ossia

< f |V(t,0)| g > = somma su n <f| U(t)|n><n|U(0)*|g> e^{-i tE_n}

ossia

< f |V(t,0)| g > somma su n <f| exp(ieE(t)p/w2)|n><n|exp(-ieE(0)p/w2)|g> e^{-i tE_n}

Ora facendo un calcolo alla buona, ma ci sarebbero un p� di cose
da verificare, si nota che E(t) ->0 per t->+oo e pertanto, a grandi
tempi
<f| exp(ieE(t)p/w2)|n> -> <f|n>

Con |g>=|0> e |f>=|1> si ha pertanto che
(modulo casini vari con inversione di limiti e serie che
non ho tempo di controllare)

< 1 |V(t,0)| 0 > si comporta come <1|exp(-ieE(0)p/w2)|0> e^{-i tE_1}

la probabilit� di transizione a grandi t sembrerebbe essere

P = |<1|exp(-ieE(0)p/w2)|0>|^2

Questo si calcola esattamente con i soliti contazzi degli stati
coerenti
(NB io ho assunto dall'inizio che il problema sia unidimensionale, mi
pareva che nel post iniziale fosse in 3D...)
perch� p = coefficienti (a + a*)...
Vi lascio i calcoli finali perch� devo andare in consiglio di
facolt�...

Ciao, Valter
Received on Sun Jun 25 2006 - 15:45:04 CEST