"vitto" ha scritto nel messaggio
news:cdhkf.66682$65.1917996_at_twister1.libero.it...
> Salve a tutti
>
> Ho un problema che nn riesco a risolvere:
>
> una sottile lastra di vetro semiriflettente � posta a distanza b=7cm
> davanti ad uno specchio convesso. Una sorgente luminosa S � posta a
> distanza
> a davanti allo specchio convesso, in modo che la sua immagine nello
> specchio
> convesso coincida con quella nella lastra semiriflettente. Dato il raggio
> dello specchio R=30cm, si calcoli la distanza a e il rapposrto della
> magnificazione delle due immagini.
>
Allora, ovviamente, specificando R, parli di uno specchio sferico convesso.
Intanto, la questione ha senso solo se la lastra semiriflettente si trova
tra S e lo specchio sferico convesso.
Dunque, andando nel verso dallo spazio degli oggetti allo spazio delle
immagini, troviamo nell'ordine:
S -----> lastra -----> specchio sferico convesso
(Infatti, se la lastra si trovasse oltre lo specchio, ossia se lo specchio
fosse tra S ed essa, la luce proveniente da S non giungerebbe sulla lastra;
se la lastra si trovasse prima di S, ossia S fosse tra la lastra e lo
specchio, l'immagine di S data dalla riflessione della lastra si formerebbe
prima della lastra e l'immagine di S data dalla riflessione dello specchio
si formerebbe oltre lo specchio dunque le due immagini non potrebbero
coincidere.)
Pertanto, la prima informazione immediata che abbiamo �
a > b [relazione (*)]
Ora, come richiesto, dobbiamo imporre che l'immagine di S data dallo
specchio coincida con quella data dalla lastra.
Come sai, la legge dei punti coniugati per lo specchio sferico �
(1/p) - (1/q) = -2/R
dove
p � la posizione dell'oggetto (distanza dallo specchio)
q � la posizione dell'immagine (>0 se l'immagine si forma oltre lo specchio)
R � il raggio di curvatura dello specchio sferico, assumendo R>0 se lo
specchio � convesso, come nel nostro caso.
Questa legge pu� anche essere scritta:
q = Rp / (R + 2p)
Nel nostro caso, la distanza dell'oggetto, che � la sorgente S, dallo
specchio �
p = a
Dunque, l'immagine di S si forma nella posizione
q = Ra / (R + 2a) [equazione (1)]
(Essendo q>0, perch� nella frazione figurano solo quantit� positive,
l'immagine si forma oltre lo specchio, quindi � virtuale.)
Vediamo, invece, in che posizione si forma l'immagine di S data dalla
lastra.
Poich� S � in posizione p = a,
mentre la lastra � in posizione p = b,
S � a distanza a - b dalla lastra.
La lastra semiriflettente si comporta come uno specchio piano e, dunque,
forma l'immagine di S
sempre a distanza a - b, ma dal lato opposto, ossia pi� vicino allo
specchio.
In sintesi, l'immagine di S formata dalla lastra si trova in posizione
p = b - (a - b) = 2b - a
Ma, la distanza q delle immagini � considerata positiva quando esse si
formano oltre lo specchio, dunque ha segno opposto rispetto alla degli
oggetti che si trovassero nella medesima posizione considerata.
Pertanto, per la distanza dallo specchio dell'immagine di S data dalla
lastra lastra, abbiamo
q = - p = a - 2b [equazione (2)]
Se, come richiesto, vogliamo che le due immagini coincidano, dalle equazioni
(1) e (2), otteniamo
Ra / (R + 2a) = a - 2b
ossia
Ra = (a - 2b) (R + 2a)
ossia
Ra = aR + 2a^2 - 2bR - 4 ab
ossia
a^2 - 2 ab - bR = 0
ossia
a = (2b +- RadiceQuadrata ( 4b^2 + 4bR )) / 2 =
= cm (2*7 +- RadiceQuadrata (4*7^2 + 4*7*30)) / 2 =
= cm (14 +- RadiceQuadrata (196 + 840) / 2 =
= cm (14 +- 32.2) / 2
Delle due soluzioni, dobbiamo prendere quella positiva, affinch� valga la
relazione (*) vista all'inizio.
Dunque la distanza della sorente S dallo specchio �
a =cm (14 + 32.2) / 2 = 23.1 cm
e cos� la prima risposta � stata data.
Per quantp riguarda il rapporto delle magnificazioni (immagino che il testo
si riferisca all'ingrandimento trasversale Gy, cio� in direzione
perpendicolare all'asse ottico), esso � semplicemente uguale
all'ingrandimento trasversale Gy dello specchio sferico, in valore assoluto,
poich� la lastra semiriflettente, comportandosi come uno specchio piano, non
opera alcun ingrndimento, cio� fornisce immagini delle stesse dimensioni
degli oggetti.
In valore assoluto,
Gy = y_immagine/y_oggetto =
come notoriamente si dimostra
= q/p = R/(R + 2p) =
poich� S � in posizione p=a
= R/(R + 2a) = 30/(30 + 2*23.1) = 0.39
cio� l'immagine data dallo specchio sferico convesso � pi� piccola rispetto
a quella data dalla lastra semiriflettente.
Ricordiamo che entrambe le immgini sono diritte (cio� non capovolte, in
senso trasversale), perch� tali sono sempre le immagini date da uno specchio
piano (quindi anche dalla nostra lastra semiriflettente) e tali sono sempre
le immagini date da uno specchio sferico convesso.
Spero di non aver sbagliato qualche stupido passaggio.
Ciao.
--
Gino, al secolo "Gigino Core Pazzo"
corepazzo_at_gmail.com
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Received on Thu Jun 22 2006 - 23:00:45 CEST