Re: Meccanica quantistica

From: argo <brandobellazzini_at_supereva.it>
Date: 17 Jun 2006 04:28:08 -0700

Tetis wrote:
> Chiss� se esiste una soluzione esatta di questo semplice
> problema quantistico. Mi stupirei del contrario.

E infatti mi sembra che una soluzione esista e sia semplice. Ne riporto
i passi e vi ringrazio in anticipo se qualcuno mi corregge: basta
notare che l'Hamiltoniana

H(q,p,t)=p^2/(2m)+(1/2w^2)q^2+eE(t)q

(prodotti scalari sottintesi) puo'essere riscritta come

H(q,p,t)=U(t) H_0(q,p) U^(-1)(t)-e^2/(2w^2)E^2(t)

dove H_0(q,p) e' l'hamiltoniana dell'oscillatore in assenza di campo
esterno e U(t) e' la trasformazione unitaria

U(t)=exp(ieE(t)p/w^2)

che implementa la trasformazione canonica (costante di Planck ridotta
la pongo =1)

q'=U(t) q U^(-1)(t)=q+e/w^2 E(t)
p'=U(t) p U^(-1)(t)=p.

Detto questo si risolve facilmente il problema agli autovalori

H(q,p,t)|n'>=E_n'|n'>

infatti un insieme completo di autovettori dell'Hamiltoniana sono i
vettori

|n'>=U(t)|n> agli autovalori E_n'=E_n-e^2/(2w^2) E^2(t)

dove |n> sono gli autovettori dell'oscillatore armonico all'autovalore
E_n.

Ci interessa calcolare l'ampiezza di transizione A(0->1) tra il
fondamentale dell'oscillatore |0> ed uno dei primi eccitati (che
chiamiamo |1>) tra l'istante 0 e l'istante T che poi mandiamo
all'infinito.
Inseriamo quindi la completezza degli stati |n'> nell'espressione di
A(0->1) e mandiamo il tempo della transizione all'infinito cosi' che
resta solo un contributo (|0> e' non degenere) della somma: di questo
prendendo il modulo quadro otteniamo la probabilita' di transizione

P(0->1)=|A(0->1)|^2=|<1|0'><0'|0>|^2==|<1|U(t)|0><0|U^(-1)(t)|0>|^2.

Questa dovrebbe essere la soluzione se non ho fatto errori. Se uno
vuole puo' passare nella rappresentazione delle coordinate (o degli
impulsi mi sembra meglio) per ottenere un risultato esplicito nelle
variabili (ricordo che U(t) in rappresentazione delle coordinate trasla
la funzione d'onda di e/w^2 E(t)).

Saluti.
Received on Sat Jun 17 2006 - 13:28:08 CEST