cariche e campi in elettrodinamica....le cariche non interagiscono con se stesse?

From: bruno il pasticcere <amcova_at_gmail.com>
Date: 20 May 2006 14:21:01 -0700

Considerate questo caso:

abbiamo una carica che viene mantenuta da una forza esterna in moto
circolare uniforme.

Possiamo calcolare il campo tramite i potenziali ritardati che si
ottengono con la gauge di lorentz:

rot(A)=B

div(A)=-(1/c^2)*DV/Dt

E=-grad(V)+DA/DT

con queste condizioni e dalle equazioni di maxwell si arriva a due
equazioni d'onda di d'Alembert per V e per A, dove le rispettive
sorgenti sono rho/epsilon e mu*J

Esprimiamo i potenziali:

usiamo coordinate cilindriche: il moto sta su una circonferenza di
raggio R centrata nel centro degli assi, nel piano z=0

l'angolo formato dalla carica al tempo t � pari a w*t

sia tau(r,theta,z,t) il ritardo con cui un punto di coordinate r e
theta sente i potenziali generati dalla carica:

i potenziali possono essere espressi come:

V(r,theta,z,t)=(1/4piepsilon)*q*1/(c*tau)

Ar(r,theta,z,t)=(mu/4pi)*q*w*R*1/(c*tau)*(-sin[w(t-tau)-theta])
Atheta(r,theta,z,t)=(mu/4pi)*q*w*R*1/(c*tau)*cos[w(t-tau)-theta]
Az=0


il ritardo tau � soluzione di questa equazione:

(c*tau)^2=R^2+r^2-2*r*R*cos[w(t-tau)-theta]

questa soluzione esiste sempre e se wR<c (condizione relativistica)
allora � anche unica.

ora volevo vedere che valore ha il campo elettrico E nel punto in cui
sta la carica, ossia di coordinate cilindriche:

r=R
theta=wt
z=0

voglio sapere la componente della forza che la carica subisce dal campo
elettromagnetico. la forza che la carica subir� da B sar� ortogonale
alla velocit� (che sta lungo theta), quindi ha componente nulla su
theta.

mi interessa quindi solo la componente theta di E:

E=-grad(V)-DA/Dt

(ricordiamo che in coordinate cilindriche gradV_theta=1/r*DV/Dtheta)

facendo i conti ho provato a fare il limite per r e theta che tendono a
R e w*t, ma mi vengono dei valori infiniti.
del resto credo che avrei dovuto aspettarmelo: tendendo al punto in cui
sta la carica V tende all'infinito quindi anche il suo gradiente
tender� all'infinito.

Allora vi chiedo, come cavolo faccio a sapere il campo elettrico che la
carica sente nel punto in cui si trova?

Notate una cosa interessante per�:

dalla forma dei potenziali vedete che � sempre la stessa funzione che
"ruota" e "trasla":

DV/Dt+DV/Dtheta*w=0

DA/DT+DA/Dtheta*w=0

allora la quantit� di moto totale del campo sar� costante,
semplicemente ruoter� a velocit� angolare w:

dp_campo/dt=w(prodottovettore)p_campo

e l'energia totale del campo sar� costante (l'integrale totale nello
spazio della densit� di energia non cambier� valore).

Se l'energia del campo � costante, allora mi aspetto che nel punto in
cui si trova la carica il campo elettrico tangenziale sia nullo
(infatti la variazione di energia totale del campo � dato dal lavoro
fatto dal campo sulle cariche).

Quindi mi basterebbe applicare una forza ortogonale alla velocit�
della carica, di intensit� opportuna, per mantenerla in questo moto
circolare uniforme.

Comunque il mio dubbio resta: usando i potenziali ritardati con gauge
di lorentz, come cavolo si calcolano i campi nei punti in cui stanno le
cariche generatrici stesse?
Received on Sat May 20 2006 - 23:21:01 CEST