Re: Utilizzo delle Equazione di Maxwell

From: bruno il pasticcere <amcova_at_gmail.com>
Date: 21 May 2006 06:17:27 -0700

Neanch'io so nulla di analisi vettoriale, ed � una questione che
diventa un po' complicata. Immagino che se tu sai rotore e divergenza
di un campo all'interno di uno spazio, e sai quanto vale il campo sulla
frontiera di questo spazio (condizioni al contorno) allora puoi dedurre
il campo stesso.

Di solito se tratti tutto lo spazio la condizione al contorno � che i
campi si annullino all'infinito.

L'idea intuitiva � che rotore e divergenza sono strumenti inventati
per la dinamica dei fluidi. Vedi il tuo campo vettoriale come una
distribuzione di corrente di un fluido. Se fai il flusso attraverso una
superficie chiusa di questo campo vedi quanto fluido sta uscendo o
entrando nella superficie nell'unit� di tempo. Chiaramente se non ci
sono sorgenti di fluido all'interno della superficie, entra tanto
fluido quanto ne esce.
Le sorgenti introducono fluido all'interno del tuo spazio, che spinge
in fuori il fluido preesistente. Le sorgenti generano quindi delle
correnti.
Se fai il conto per la distribuzione di un fluido generato da una
sorgente puntiforme, ti viene che la densit� di corrente �
distribuita radialmente e va come 1/r^2. La carica in elettrostatica
sarebbe l'analogo della quantit� di fluido uscente dalla sorgente
nell'unit� di tempo.
Puoi vedere quindi che questo campo ha circuitazione nulla.

Ci sono altri generatori di correnti, che non corrispondono a nessuna
sorgente. Ad esempio, se metti un elica in un fluido e la fai girare,
questa generer� delle correnti. Le altre sorgenti sono quindi i
vortici. Riconosci la presenza di un vortice quando le linee di flusso
sono chiuse su se stesse, e la velocit� ha sempre lo stesso verso
lungo il percorso della curva, per cui ti verr� una circuitazione non
nulla.
Ovviamente, la corrente generata dai vortici ha flusso nullo attraverso
superfici chiuse, perch� non ci sono sorgenti.
I vortici hanno un'intensit� e una direzione, e quindi li indichi con
vettori. Immagino che supponendo che ci sia un vortice centrato in un
punto, diretto lungo un asse, e supponendo che la corrente generata sia
a flusso nullo, ti verr� una distribuzione di corrente lungo linee
circolari centrate sull'asse dato dal vortice.

Se supponi di conoscere quindi la distribuzione di sorgenti e di
vortici, puoi ricavare il campo supponendo che le sorgenti generino da
parte loro correnti a circuitazione nulla, mentre i vortici generano
correnti a circuitazione non nulla e flusso nullo.

Viceversa se sai il campo e vuoi determinare sorgenti e vortici in un
punto, fai la densit� di flusso e densit� di circuitazione in quel
punto (infatti i contributi degli altri vortici e le altre sorgenti che
non stanno in quel punto spariranno quando tenderai a uno spazio
piccolissimo che contiene solo quel punto).

Nei casi elettrostatici e magnetostatici � abbastanza facile ottenere
le espressioni dei campi in funzione delle distribuzioni di carica e di
densit� di corrente. In alcuni casi, in cui un campo ha derivata
seconda rispetto al tempo nulla e l'altro ha derivata prima rispetto al
tempo nulla, � abbastanza facile determinare i campi, si procede in
maniera molto simile ai campi statici.

Nel caso dei campi elettrodinamici pi� complessi ci sono diversi
potenziali elettrodinamici.

Per prima cosa, si usa un potenziale vettore per il campo magnetico
(gi� introdotto nella magnetostatica). Dato che il campo B ha
divergenza nulla, c'� un teorema che dice che puoi esprimerlo come il
rotore di un altro campo, detto potenziale vettore, che di solito viene
indicato con A.

L'equazione di base � rot(A)=B

ora, supponendo che la condizione al contorno sia la solita per cui A
si annulla all'infinito, ti resta da definire la divergenza.

Questa credo si chiami scelta di "gauge".

In magnetostatica usi la gauge di Coulomb:

div(A)=0

In elettrodinamica ci sono diversi potenziali, che differiscono a
seconda della gauge che scegli per A.

Accanto al potenziale vettore trovi anche un potenziale scalare (che
nel caso le distribuzioni non cambino nel tempo si riduce al potenziale
elettrostatico che gi� conosci).

infatti se il vettore E non ha rotore sempre nullo per cui non si pu�
considerare come gradiente di un potenziale, il vettore:

E+DA/Dt invece ha rotore sempre nullo, quindi lo puoi esprimere come
gradiente!

infatti:

rot(E)+rot(DA/DT)=-DB/DT+Drot(A)/DT=-DB/DT+DB/DT=0

quindi:

-grad(V)=E+DA/DT

Tra i potenziali elettrodinamici ci sono quelli di Lienerd-Wiechart,
che non conosco, ma immagino discendano tutti da una particolare scelta
di gauge.
Poi ci sono quelli che mi stanno un po' pi� simpatici, quelli che si
ottengono con la gauge di lorentz.

Se infatti poni:

div(A)=-(1/c^2)*DV/Dt

allora riesci a ottenere delle equazioni d'onda di D'Alembert per V e
A, in cui le rispettive sorgenti sono rho/epsilon e mu*J.

Infatti:

div(grad(V))=-div(E)-div(DA/Dt)=-rho/epsilon-D(div(A))/Dt=-rho/epsilon+(1/c^2)*D^2(V)/Dt^2

(1/c^2)D^2(V)/Dt^2-div(grad(V))=rho/epsilon

div(grad(V)) � il laplaciano di V, e quella che vedi sopra �
un'equazione d'onda per V in cui le sorgenti sono rho*epsilon e la
velocit� di propagazione dell'onda � c.

Vediamo invece come la si ottiene per il potenziale vettore A:

rot(A)=B

rot(rot(A))=rot(B)
Received on Sun May 21 2006 - 15:17:27 CEST