Re: Problema di elettrostatica

From: Hypermars <hypermars_at_despammed.com>
Date: Mon, 22 May 2006 14:50:53 -0400

"Franco" <gagnusd_at_tin.it> wrote in message news:4471983A.5030506_at_tin.it...

> Debbo risolvere il seguente probema:
> <<Nel vuoto all'interno di una regione sferica di raggio R=1 mm, vi �
> una distribuzione non uniforme di carica con densit� D dipendente dal
> centro secondo la legge D (r) = A/R.

Quindi e' uniforme...o volevi dire D(r)=A/r ?

> Sapendo che la differenza di
> potenziale tra il centro e la superficie della sfera � DV=0,0001 V
> determinare il valore della costante A.>>

Facciamo i due casi D(r)=A/R, e D(r)=A/r cosi' ci becchiamo in un modo o
nell'altro.

Non hai bisogno di far grossi calcoli, se ci pensi un attimo. Quale che sia
la distribuzione interna alla sfera, il potenziale all'esterno della stessa
(r>R) e' dato da

V(r>R) = Q/(4 pi eps0 r)

dove

Q = 4 pi \int D(r) r^2 dr

quindi

V(R) = Q/(4 pi eps0 R)


Nei due casi abbiamo:

Q = 4 pi A R^2/3 se D(r) = A/R

Q = 4 pi A R^2/2 se D(r) = A/r

quindi, rispettivamente

V(R) = A R/(3 eps0)

V(R) = A R/(2 eps0)


Ti manca ora il potenziale al centro della sfera. Per calcolarlo, prendi
l'integrale standard che lega distribuzioni di carica assegnate e potenziali
corrispondenti:

V(r') = 1/(4 pi eps0) \int dr D(r)/|r'-r|

e specificalo per r'->0

V(0) = 1/(4 pi eps0) 4 pi \int D(r) r^2 dr/r = 1/eps0 \int D(r) r dr

che risulta nei due casi

V(0) = 1/eps0 A/R R^2/2 = A R/(2 eps0) se D(r) = A/R

V(0) = 1/eps0 A R = A R/eps0 se D(r) = A/r


Quindi, poiche' la differenza di potenziale DV tra il centro e la superficie
e'

DV = V(0) - V(R)

ottieni

DV = A R/(6 eps0) se D(r) = A/R

DV = A R/(2 eps0) se D(r) = A/r

da cui ti ricavi A, che per i parametri dati risulta, a meno di errori

A = 5.31 pC/m^2 se D(r) = A/R

A = 1.77 pC/m^2 se D(r) = A/r


Bye
Hyper
Received on Mon May 22 2006 - 20:50:53 CEST