Re: Principio di D'alambert

From: Valter Moretti <vmoretti2_at_hotmail.com>
Date: 5 May 2006 13:09:29 -0700

Ciao, la terminologia dell'800 era proprio "forze d'inerzia"
"forze perdute" ecc...
Per la verit� io intendevo una cosa un p� diversa anche se collegata,
perch� avevo l'impressione che chi avesse fatto la domanda fosse
incappato pi� che altro nel principio dei "lavori virtuali" per
formulare la
dinamica lagrangiana in presenza di vincoli olonomi.

Quando si ha un sistema con vincoli, le forze si dividono in due
classi:
le cosiddette "forze attive" F_i che sono funzione dello stato
cinetico
dei punti del sistema, e le reazioni vincolari phi_i dovute ai vincoli
a
cui sono sottoposti i punti del sistema, che sono del tutto incognite.
Le reazioni vincolari non sono funzioni di posizioni e velocit�.
Pertanto il sistema, per i=1,..., N numero di punti:

F_i + phi_i = m_i a_i

non � un sistema di equazioni differenziali del secondo ordine in
forma normale e non determina il moto del sistema quando sono
assegnati posizioni e velocit� iniziali dei punti.
Bisogna dare ulteriori informazioni per ripristinare il determinismo
(oltre a, ovviamente, la struttura dei vincoli a cui sono sottoposti i
punti).
Queste informazioni aggiuntive sono di due tipi: il tipo di vincolo
(caratterizzazione geometric/cinetica) e una reazione costitutiva
delle forze vincolari.
Una caratterizzazione pi� generale di quella di _vincolo liscio_ �
quella di _vincolo ideale_. Per definizione le forze reattive associate
a vincoli ideali soddisfano un certo principio che, su certi testi
viene
anche detto (mi pare per� erroneamente) Principio di d'Alembert.
Questo pricipio dice che "il lavoro virtuale delle reazioni
 vincolari � sempre nullo".
Il lavoro virtuale � una menata da definire, ma � sostanzialmente
la somma dei prodotti scalari tra le forze reattive ed i vettori
spostamento che connettono una configurazione del sistema
ad un'altra "infinitesimanente vicina" a tempo congelato
(i vincoli possono dipendere dal tempo, qui non ne teniamo
conto per principio ed � per questo che lo spostamento � detto
"virtuale": pu� non essere uno spostamento effettuabile nella
realt� dal sistema).
Se phi_i � la reazione vincolare sull' i-esimo punto:
e deltaP_i � uno spostamento virtuale dell'i-esimo punto:

  somma su i phi_i delta P_i =0 per ogni deltaP_i (1)

A cosa serve tutta 'sta roba? Serve per il seguente motivo.
La (1) si riscrive (� questo che si chiama a volte principio di
d'Alembert)

  somma su i (F_i - ma_i) delta P_i =0 per ogni deltaP_i(2)

Una volta espresse velocit� ed accelerazioni e le funzioni di
forza attiva F_i in funzione delle coordinate libere q^1,....q^n
(e delle loro "derivate temporali" q^i puntntate) che individuano
le configurazioni del sistema compatibili coni vincoli,
la richiesta (2) � EQUIVALENTE alle equazioni di
Eulero-Lagrange per il sistema di punti, che come ben
noto sono deterministiche: equazioni differenziali del
secondo ordine in forma normale. In questo modo il
moto del sistema � determinato.

L'mportanza della definizione di vincolo idelae � che molte
 reazioni vincolari soddisfano tale richiesta: vincoli lisci,
vincolo di rotolamento (integrabile e no), vincolo di rigidit�
e composizioni di tali vincoli...

Pi� di questo, senza formule � impossibile dire.

Ciao, Valter
Received on Fri May 05 2006 - 22:09:29 CEST