Funzione di Green. Equazione di Poisson in R^n.

From: <paolopani_at_gmail.com>
Date: 10 Apr 2006 01:56:16 -0700

Salve, posto questa domanda anche qui (e' in it.scienza.matematica)
perche' non ho avuto risposta ed effettivamente l'argomento interessa
anche la fisica. Nei libri di fisica (di metodi) ho trovato una
"derivazione" (almeno nel caso n=3 ma facilemnte estendibile) che pero'
applica il teorema di Guass ad una particolare funzione radiale (che va
come r^-(n-2)) e mostra che il problema sottoriportato ha proprio
quella soluzione.. pero' alla fine non risolve l'equazione diff, ma in
pratica fa una verifica un po' piu' raffinata...

In realt� la mia domanda � duplice perch� vorrei risolvere il
problema e capire
anche quello che il professore ha scritto in alcune dispense (che per
vari
problemi fra cui il fatto che � straniero, sono abbastanze oscure).

Il problema � trovare la funzione di Green G(x,y) x,y vettori di R^n
per
l'equazione di poisson nell'intero spazio. Devo quindi risolvere
l'equazione:

\nabla_{y} G(x,y)=\delta(x-y)

Richiedendo che G tenda a zero all'infinito.
Ovviamente va bene qualsiasi risoluzione del problema, per� mi
piacerebbe capire la filosofia del ragionamento del professore che dice
che l'equazione di sopra � equivalente a:

\nabla_{y} G(x,y)=\frac{\delta(r)}{\omega_{n} r^{n-1}}

Con \omega_n che � la misura di S^(n-1).

Poi continua: *quindi* G(x,y) dipende solo da r e allora devo
risolvere:

\nabla G(r)=\frac{\delta(r)}{\omega_n r^{n-1}}.

Da questa in effetti si arriva alla soluzione (almeno per n maggiore
uguale a 3), tuttavia i due passaggi con cui si � passati
dall'equazione di partenza a quest'ultima non mi sono chiari (anzi
direi
che non sono conseguenze necessarie).
Vorrei quindi sapere come si risolve l'equazione inziale in qualsiasi
modo
o in questo giustificando per� i passaggi che forse sono stati
considerati ovvi (non per me purtroppo :( )
Grazie
Received on Mon Apr 10 2006 - 10:56:16 CEST