"Giorgio Pastore" <pastgio_at_univ.trieste.it> wrote in message
news:4431A5F2.1020702_at_univ.trieste.it...
>
>
> Bruno Cocciaro wrote:
> ...
> > Comunque, gia' che ci sono, ma cosa significa che allo zero assoluto
> > l'entropia di un sistema dovrebbe essere costante?
> Che assume un valore indipendente dalle altre variabili termodinamiche
> (p.es; volume, composizione, stato di aggregazione,...).
Bene, allora, rimanendo sempre al modello non realistico di gas perfetto (il
non realistico, come sottolineato da te, e' particolarmente vero se ci si
avvicina alle basse temperature: il gas, anche non "perfetto", non sarebbe
piu' gas alle basse temperature), se ho una mole di un certo gas la sua
entropia S deve essere sempre la stessa anche se raddoppio il volume (la
pressione, per quanto bassissima poiche' T-->0, si dimezzera'). Se prendo
due moli, sempre nell'ipotesi T-->0, quale che sia il volume, l'entropia
sara' sempre 2*S. Ho capito bene ?
> > Poi, anche questo zero
> > assoluto che significa ?
>
> In termodinamica si introduce la temperatura assoluta come quella
> funzione della temperatura empirica che permette di scrivere il rapporto
> tra calore scambiato in un ciclo di Carnot tra due temperature come
> Q1/Q2 = T1/T2. Solo in termini di temperatura assoluta si puo' scrivere
> l' efficienza del ciclo di Carnot come (T1-T2)/T1 e la differenza di
> entropia come integrale in dT di dQ_reversibile / T.
Ok, ma qua andiamo gia' sul "complicato", dobbiamo aver gia' definito in
qualche modo l'entropia, eseguiamo delle trasformazioni, per quanto
infinitesime, con scambi di calore ecc., e se vogliamo descrivere tutto cio'
sulla base di una qualche teoria sottostante (ad esempio se vogliamo basare
la termodinamica sulla meccanica) abbiamo bisogno di tutto un armamentario
teorico di cui dovremmo aver ben definito i contorni.
Io vorrei tornare alla parte semplice, cioe' alla fase di "definizione dei
contorni". E sempre per restare alle cose semplici, vorrei provare a
definire le cose nel caso non realistico del gas perfetto. Quindi, ad
esempio, la temperatura ancora non la nominerei perche' ancora non abbiamo
ben specificato cosa e'. Conosciamo la meccanica, quindi sappiamo cosa sono
posizione, quantita' di moto, energia, ma non conosciamo la termodinamica.
> > Sempre pensando a un gas perfetto, mica penseremo a
> > palline tutte ferme, no?
>
> No perche' a bassa temperatura cessa di valere l' approssimazione
> classica. Un segnale lo da' il fatto che l' entropia del gas perfetto
> diverge a T-> 0.
Perfetto, questo sarebbe in effetti un segnale importante. Pero' prima di
parlare di entropia e di temperatura, e vedere quindi l'eventuale
divergenza suddetta, dobbiamo definirle adeguatamente, almeno nel caso di
gas perfetto che decidiamo di studiare.
> > Intendiamo con zero assoluto che, avendo la
> > possibilita' di misurare le quantita' di moto p delle singole particelle
> > (sia dp la risoluzione del nostro strumento), otterremo che tutte
avranno
> > p=0 +- dp ?
> In un mondo puramente classico si', visto che l' energia cinetica media
> traslazionale e' proporzionale a T.
Oh, benissimo. Mondo puramente classico, diciamo anche mondo puramente
inventato per i problemi gia' ricordati legati alla plausibilita' della
ipotesi di gas perfetto. Ci chiediamo se in questo mondo puramente inventato
il terzo principio della termodinamica (che dovremmo in qualche maniera
esporre, senza fare uso di concetti "proibiti" come entropia e temperatura)
da' luogo a problemi.
La situazione e' la seguente:
abbiamo N palline in un contenitore di volume V. L'energia totale delle
palline e' talmente piccola che utilizzando i migliori misuratori di
quantita' di moto disponibili (i nostri misuratori possono avere risoluzione
al minimo pari a dp) otteniamo, dalla "lettura" dello stato microscopico,
che tutte le N palline hanno p=0 +- dp.
Con "stato microscopico" intendo la lettura della posizione x e della
quantita' di moto p di ogni singola pallina.
Lo stato microscopico e' non conoscibile in pratica ma lo e' soprattutto in
teoria in quanto gli strumenti di misura che usiamo avranno sempre una
fissata risoluzione. Per ogni data pallina, quello che si puo' conoscere e'
la microdistribuzione, si puo' cioe' sapere in quale celletta, di dimensioni
(dx,dp), si trova la pallina.
Per quanto riguarda la posizione abbiamo a disposizione strumenti aventi
risoluzione dx a piacere.
Ci chiediamo:
visto che per quanto riguarda p tutti gli strumenti saranno equivalenti
(otterremo sempre p=0+-dp), possiamo determinare la migliore risoluzione dx?
Con "migliore" si intende che la microdistribuzione associata alle
risoluzioni (dx,dp) da' le migliori informazioni per quanto riguarda la
macrodistribuzione (la quale sara' legata allo stato macroscopico da
definire definendo in paticolare il legame fra lo stato macroscopico e le
misure).
Qui si deve definire la macrodistribuzione e dire quali sarebbero le
informazioni che vorremmo fossero le "migliori".
Con "macrodistribuzione" intendiamo la distribuzione Ni (0<= i <= N):
Ni = numero di scatole contenenti i palline.
L'informazione che vorremmo avere dalla macrodistribuzione (cioe' dalla
distribuzione Ni) e' la seguente:
vorremmo sapere se il sistema e' all'equilibrio o no e con
"macrodistribuzione di equilibrio" intendiamo la macrodistribuzione
associata al maggior numero di microdistribuzioni (e qui ovviamente dovremo
dire quando consideriamo "distinguibili" due microdistribuzioni; in via di
principio, almeno in prima istanza, io direi di immaginare che ogni pallina
abbia la propria individualita', quindi dire "pallina 1 dentro la scatola 7
e pallina 2 dentro la scatola 19" e' diverso dal dire "pallina 1 dentro la
scatola 19 e pallina 2 dentro la scatola 7").
La scelta del migliore dx e' quella che evita di associare a stati
microscopici non di equilibrio delle microdistribuzioni che vengono
interpretate come facenti parti della macrodistribuzione di equilibrio.
Uno stato microscopico non di equilibrio puo' essere "smascherato" dalla sua
analisi tramite diversi dx. Se lo stesso stato microscopico, analizzato con
un certo dx1, da' una microdistribuzione facente parte del macrostato di
equilibrio, ma analizzata con un dx2<dx1 (dx2>dx1) da' una
microdistribuzione non facente parte del macrostato di equilibrio, allora
abbiamo "smascherato" lo stato microscopico, abbiamo capito che non e' di
equilibio e che "ci sembrava" tale solo per il fatto che avevamo usato un
dx1 troppo grande (piccolo).
Facciamo un esempio.
Sia N=4, e scegliamo dx=dx1 in maniera tale che tutto il volume sia diviso
in 4 cellette (ci interessa solo la posizione perche', come detto, le
quantita' di moto occupano tutte la stessa celletta)
Le possibili macrodistribuzioni sono:
M1: N0=3, N1=0, N2=0, N3=0, N4=1 (cioe' 2 cellette vuote e solo una celletta
con 4 palline),
M2: N0=2, N1=1, N2=0, N3=1, N4=0
M3: N0=2, N1=0, N2=2, N3=0, N4=0
M4: N0=1, N1=2, N2=1, N3=0, N4=0
M5: N0=0, N1=4, N2=0, N3=0, N4=0.
Facendo i conti, se non ho sbagliato, si ottiene che il numero totale di
microdistribuzioni e' 4^4=256, cosi' distribuite:
4 sono associate alla M1,
48 sono associate alla M2,
36 sono associate alla M3,
144 sono associate alla M4 e
24 sono associate alla M5.
La macrodistribuzione di equilibrio (quella associata al maggior numero di
microdistribuzioni) e' dunque la M4.
Scegliamo ora dx=dx2 in maniera tale che tutto il volume sia diviso in 2
cellette.
Le possibili macrodistribuzioni sono:
M1': N0=1, N1=0, N2=0, N3=0, N4=1,
M2': N0=1, N1=1, N2=0, N3=1, N4=0,
M3': N0=0, N1=0, N2=2, N3=0, N4=0.
Ora il numero totale di microdistribuzioni e' 2^4=16 e sono cosi'
distribuite:
2 sono associate alla M1',
8 sono associate alla M2' e
6 sono associate alla M3'.
La macrodistribuzione di equilibrio e' la M2'.
Risulta pero' abbastanza semplice individuare stati microscopici (cioe'
posizioni per le 4 palline) che sarebbero associati ad esempio a M5
scegliendo dx1 e a M2' scegliendo dx2. In casi del genere la scelta dx2
farebbe "sembrare" lo stato microscopico di equilibrio in quanto ad esso
associeremmo una microdistribuzione facente parte della macrodistribuzione
di equilibrio. Pero' potremmo "smascherare" la cosa grazie alla scelta di
dx1. Il fatto che dx2 permette a stati microscopici non di equilibrio di
"confondersi" nelle microdistribuzioni associate alla macrodistribuzione di
equilibrio ci fa capire che dx2 e' troppo grande.
Questo e' quello che intendo quando dico che il sistema "suggerisce" il dx
giusto. E nel caso in esame (dp uguale al minimo utilizzabile, tanto
comunque tutti i dp sono equivalenti) il sistema suggerisce di scegliere dx
in maniera tale da dividere il volume totale in un numero di cellette pari a
N (in generale il sistema suggerisce di dividere il volume delle fasi di
fatto investigabile dalla singola particella, in un numero di cellette pari
a N).
Se accettiamo di usare il dx suggerito dal sistema, e definiamo l'entropia S
come il logaritmo della probabilita' della macrodistribuzione di equilibrio
(nell'esempio visto sopra avremmo S=log(144/256)) non avremmo, mi pare,
problemi con il terzo principio. Raddoppiando il volume del contenitore
dovremmo raddoppiare anche il volume della celletta unitaria e avremmo
sempre S=log(144/256)).
Naturalmente tutto il discorso avrebbe un senso solo per N>>1, la
macrodistribuzione di equilibrio sarebbe la poissoniana di media 1, Ps(i),
con cio' intendendo non la Ps esatta, ma Ps(i)+delta(i) con
abs(delta(i))<<Ps(i) per ogni i, in modo tale che la probabilita' della
macrodistribuzione di equilibrio, per distribuzione casuale delle palline
nel volume, sia molto prossima a 1. In sostanza, scegliendo il dx giusto, la
microdistribuzione ci dice se il sistema e' all'equilibrio o meno: se la
microdistribuzione e' associata ad una delle macrodistribuzioni comprese in
Ps(i)+delta(i) allora diciamo che il sistema e' all'equilibrio. Quando il
sistema e' all'equilibrio diciamo che e' definito lo stato macroscopico,
cioe' sono possibili sul nostro sistema misure macroscopiche. Ad esempio e'
definita la densita', per misurarla dobbiamo scegliere un volume
qualsiasi>>volume della celletta=Volume totale/N e fare il rapporto numero
di palline trovate/volume scelto. Il risultato sara' sempre lo stesso quale
che sia il volume scelto. Non sarebbe stato cosi' (la misura macroscopica
non sarebbe stata definita in quanto il suo risultato sarebbe dipeso dal
volume scelto) qualora lo stato macroscopico non fosse stato definito, cioe'
qualora il sistema non avesse dato una macrodistribuzione di equilibrio
(inoltre se avessi scelto un dx "sbagliato" una eventuale microdistribuzione
non di equilibrio si sarebbe potuta "confondere" con quelle realmente di
equilibrio e la misura numero di particelle/volume scelto avrebbe potuto
dare un risultato non indipendente dal volume scelto).
> Giorgio
Ciao.
--
Bruno Cocciaro
--- Li portammo sull'orlo del baratro e ordinammo loro di volare.
--- Resistevano. Volate, dicemmo. Continuavano a opporre resistenza.
--- Li spingemmo oltre il bordo. E volarono. (G. Apollinaire)
Received on Tue Apr 04 2006 - 17:10:27 CEST